lim (f (x) g(x))= [0 ∞]. |
|||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Деление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) если A = ∞, B = ∞, то |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
lim |
|
|
= |
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→x0 g(x) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||||
2) если A - конечное число, |
B = ∞, то |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
f (x) |
= 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→x0 g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) если A ≠ 0 , B = 0 , то |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
= ∞ ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) если A = 0 , B = 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
f (x) |
= |
|
0 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
Решение задачи 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(2x2 −3x − 2)2 |
|
0 |
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||
x |
3 |
−2x |
2 |
− 4x |
+8 |
|
|||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
Для раскрытия неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
1) Чтобы разложить многочлен 2x2 −3x −2 на множители,
найдем корни уравнения 2x2 −3x −2 = 0 :
x |
= 3 ± 9 +16 |
= 3 ± 5 = |
2 |
. |
1, 2 |
4 |
4 |
|
|
|
− 0, 5 |
|
Следовательно,
11
(2x2 −3x − 2)2 = (2 (x − 2)(x + 0, 5))2 = (x − 2)2 (2x +1)2 .
2) Чтобы разложить многочлен x3 − 2x2 − 4x +8 на множители, сгруппируем его первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
x3 − 2x2 − 4x +8 = x2 (x − 2)− 4(x − 2)= (x − 2)(x2 − 4)= = (x − 2)(x − 2)(x + 2)= (x − 2)2 (x + 2).
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(2x2 −3x − 2)2 |
|
0 |
|
(x − 2)2 (2x +1)2 |
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
= |
x |
3 |
− 2x |
2 |
− 4x |
+8 |
0 |
2 |
|||||
x→2 |
|
|
|
|
x→2 |
(x − 2) (x + 2) |
|
|||||
|
|
|
|
|
= lim |
(2x +1)2 |
|
= |
25 |
. |
|||
|
|
|
|
|
x + 2 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Задача 4 |
|
|
|
||||
Вычислить предел функции: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
lim |
|
x |
2 |
+ x + 5 − |
x |
2 |
− 3x |
|
|
|
||
|
|
|
, |
||||||||||
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x + 6 − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) lim |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 4 |
|||||||
а) |
lim |
|
x |
2 |
+ x + 5 − |
x |
2 |
−3x |
|
= [∞ − ∞]. |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для раскрытия неопределенности дополним выражение, стоящее под знаком предела, до разности квадратов. Для этого
|
x |
2 |
+ x +5 |
+ |
x |
2 |
|
домножим и разделим его на |
|
|
−3x : |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
lim |
|
x |
2 |
+ x +5 − |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
= [∞ −∞]= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
2 |
+ x |
+5 − |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x +5 |
+ |
x |
2 |
− |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
3x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x + 5 + x2 −3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
x2 + x +5 − (x2 − 3x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
x2 + x + 5 + x2 − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 + x + 5 + x2 − 3x |
= |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
вынесем в числителе |
||||||||||||
Для раскрытия неопределенности |
∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и знаменателе за скобки старшие степени x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x→±∞ x2 + x +5 + x2 −3x |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 + |
|
|
+ |
|
2 + 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поскольку |
5 |
|
|
→ 0 , |
|
1 |
|
|
→ 0 , |
5 |
→ 0 , |
3 |
|
→ 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x x→±∞ |
|
|
|
x x→±∞ |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
x x→±∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
+ x +5 − |
x |
2 |
|
−3x |
|
|
lim |
2x |
= |
|
2, x → +∞ |
. |
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= |
|
x |
|
|
|
|
|
→ −∞ |
||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
−2, x |
|
||||||||||
б) lim |
3 x + 6 |
− 2 |
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13
Для раскрытия неопределенности дополним числитель выражения, стоящего под знаком предела, до разности кубов. Для этого домножим и разделим дробь на
3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 :
|
3 |
x + 6 − 2 |
|
|
0 |
|
= |
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
x − 2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
||
( x + 6 − 2) (x + 6) + 2 x + 6 |
|
||||||||||||||
= lim |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
(x + |
+ |
2 |
x + 6 |
|
|
|
||||||||
x→2 (x − 2) |
|
6) |
|
|
+ 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
(x + 6)−8 |
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
3 |
(x + |
2 |
+ |
2 |
3 |
x + 6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
x→2 (x − 2) |
|
6) |
|
|
+ 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
(x + |
2 |
+ |
2 |
3 |
x + 6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
x→2 (x − 2) |
|
6) |
|
|
+ 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
1 |
= |
1 |
= 1 . |
|
x→2 |
3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 |
|
4 + 2 2 + 4 |
12 |
||||
|
|
|
|
|
Задачи 5 – 6 |
|
|
|
Вычислить предел функции: |
|
|
|
|||||
а) lim |
etg2 x −1 |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 ln cos 3x |
|
|
|
|
|
|||
б) lim |
|
sinπ x |
. |
|
|
|
||
|
2 + x + x2 |
|
|
|
||||
x→1 |
|
− 2 |
|
|
|
|||
14