2) Если

lim

α(x)

= C , где C - конечное число, отличное от

x→x0

β(x)

нуля, то α(x) и β(x) называются б. б. одного порядка.

Определение 6

Б. б. функции α(x) и

β(x) называются эквивалентными в

точке x0 , если

lim

α(x)

=1 .

x→x0

β(x)

Обозначается: α(x)

~

β(x).

x→x0

Свойства эквивалентных б. б.

1) Пусть α(x) и β(x)

- б. б. в точке

x0

и α(x)

~ α1 (x),

β(x) ~

β1(x). Тогда

x→x0

x→x0

(x)

(x)

lim

α

= lim

α1

,

β

(x)

β1

(x)

x→x0

x→x0

etg2 x −1

0

а) lim

=

.

0

x→0 ln cos 3x

ln cos 3x = ln(1 + (cos 3x −1)) ~

cos 3x −1 .

x→0

Заменив б. м. на эквивалентные, получим

etg2 x −1

0

tg2

x

0

lim

=

= lim

=

.

−1

x→0 ln cos 3x

0

x→0 cos 3x

0

tg2 x

~

x2 ,

x→0

cos 3x −1 = −(1 − cos 3x)

~

−

(3x)2

= −

9

x2 .

2

x→0

2

Таким образом,

etg 2 x

−1

0

tg2 x

0

2

x2

2

lim

=

= lim

=

= −

lim

= −

.

x

2

9

x→0 ln cos 3x

0

x→0 cos 3x −1

0

9 x→0

б) lim

sin π x

0

2

+ x + x2 − 2

=

0

.

x→1

Чтобы воспользоваться таблицей эквивалентных б. м.

функций,

сделаем

замену

переменной.

Обозначим

x −1 = t .

Тогда при

x →1

t

является

б.

м.

Переходя к пределу при

t → 0 , получим

lim

sin π x

0

sin π(1 + t)

=

2 + x

+ x2

=

0

= lim

2

x→1

− 2

t →0

+1 + t + (1 + t)2 − 2

= lim

sin(π

+πt)

= −lim

sinπt

=

0

4

0

.

t→0

4 +3t

+ t2 − 2

t→0

+3t + t2 −2

sinπt

~ πt ,

t

→0

4 + 3t + t2 − 2 =

1 + 3t

+ t

2

=

2

−1

4

4

1

3t

t2

2

1

3t

t2

3t

t2

= 2

1 +

+

−1

~ 2

+

=

+

.

4

2

4

4

4

4

t→0

4

Поскольку сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна

б. м. меньшего порядка,

3t

+

t2

~

3t

. Следовательно,

4

4

4 t→0

4 + 3t + t2

~

3t

+ t2

~

3t .

t→0

4

4 t→0

4

Таким образом,

lim

sinπ x

=

2 + x + x

2 − 2

x→1

= −lim

sin πt

− 2

=

0

= −lim

4πt

= − 4π .

t→0

4 + 3t + t2

0

t →0

3t

3

Задача 7

Вычислить предел функции:

5+x

lim

− e

arcsin 2

x

x

.

2

x→0