4.10.Контрольные вопросы

4.10.1.Как образуется комплексный чертеж Монжа?

4.10.2.Как задаются на чертеже прямые и плоскости общего

положения?

4.10.3.Как задаются на чертеже прямые и плоскости частного положения? Как они называются?

4.10.4.Какие задачи называются позиционными? Приведите примеры.

4.10.5.Как определяется видимость фигур на комплексном чертеже?

4.10.6.Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через

две точки.

4.10.7.Запишите уравнение прямой в пространстве, проходящей через

две точки.

4.10.8.По заданному уравнению прямой в пространстве построить проекции этой прямой на чертеже Монжа.

5.МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

5.1.Краткие теоретические сведения

Кметрическим задачам относятся задачи начертательной геометрии, в которых находятся углы и расстояния.

Определение натуральной величины отрезка. Если прямая является прямой уровня, то есть параллельна какой-либо плоскости проекций, то любой отрезок данной прямой на эту плоскость проекций проецируется в истинную величину. Например, отрезок AB (рис. 5.1) проецируется на горизонтальную плоскость проекций Π1 в натуральную величину. Для

определения натуральной (истинной) величины отрезка прямой общего положения можно воспользоваться методом прямоугольного треугольника (рис.5.2): натуральная (истинная) величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция данного отрезка, а другим – разность расстояний концов отрезка до

плоскости проекций. Угол между натуральной величиной и проекцией является углом наклона отрезка к соответствующей плоскости проекций. На рис. 5.3 показано построение натуральной величины отрезка AB и углов α и β наклона отрезка к плоскостям Π1 и Π2 соответственно.

Ортогональные проекции плоских углов. Для того чтобы плоский угол на некоторую плоскость проекций проецировался в истинную величину, необходимо и достаточно, чтобы обе его стороны были параллельны плоскости проекций, то есть, чтобы плоскость угла была параллельна данной плоскости проекций (рис.5.4).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Для того чтобы прямой угол на плоскость проекций проецировался в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы лишь одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

Пусть задана некоторая горизонтальная прямая уровня h и точка M . Требуется провести прямую a , проходящую через точку M и пересекающую h под прямым углом (рис.5.5). Так как h параллельна плоскости проекций Π1 , то на Π1 прямой угол между h и a проецируется в истинную величину.

По горизонтальной проекции K1 точки K пересечения прямых h и a находим фронтальную проекцию K2 и строим фронтальную проекцию a2 искомой прямой a .

Рис. 5.5

Перпендикулярность прямой и плоскости. Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым этой плоскости. При задании перпендикуляра к плоскости на комплексном чертеже в качестве пересекающихся прямых удобно выбирать фронталь и горизонталь заданной плоскости. Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости применительно к комплексному чертежу формулируется следующим образом: прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали (рис.5.6).

Перпендикулярность двух плоскостей. При построении двух перпендикулярных плоскостей используется известное из стереометрии положение, согласно которому две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 5.7 показано построение плоскости Γ(m ∩k), перпендикулярной данной

плоскости Φ(A,B,C) и проходящей через точку E .

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Перпендикулярность двух прямых. Две взаимно перпендикулярные прямые строятся из условия, что одна из них инцидентна плоскости, перпендикулярной другой прямой. Пусть требуется построить прямую l , проходящую через точку K и пересекающую прямую a под прямым углом (рис.5.8). Через точку K проведем плоскость Γ(h ∩ f ) , перпендикулярную

прямой a : a2 f2, a1 h1, f1 //Ox, h2 //Ox. Далее найдем точку

M пересечения Γ с прямой a (основная первая позиционная задача). Точки M и K определяют искомую прямую l .

Рис. 5.8

Линии наибольшего наклона. Прямая, принадлежащая данной плоскости и составляющая с плоскостью проекций наибольший угол, называется линией наибольшего наклона к плоскости проекций (рис.5.9). Линия наибольшего наклона к Π1 называется линией ската. Линия ската

перпендикулярна горизонтали h , линия наибольшего наклона к Π2 перпендикулярна фронтали f , линия наибольшего наклона к Π3 – профильной прямой уровня p данной плоскости.

Рис. 5.9

Пусть задана плоскость Γ(a //b) . Построим линию ската l плоскости

(рис.5.10). Сначала необходимо построить горизонталь h плоскости. Затем строим l1 h1 . Фронтальную проекцию l2 искомой прямой l строим из

условия принадлежности этой прямой плоскости Γ.

Рис. 5.10

5.2.Задачи для аудиторных занятий

5.2.1.Достроить фронтальную проекцию отрезка AB , если известна его натуральная величина, равная 50 мм (рис. 5.11).

5.2.2.Найти горизонтальную проекцию A1 точки A, если она отстоит от прямой h на 20 мм (рис.5.12).

5.2.3.Построить точку K, симметричную точке M относительно плоскости

Γ(a //b) (рис.5.13).

5.2.4.Через точку M провести плоскость, перпендикулярную прямой a

(рис.5.14).

5.2.5.Построить проекции пирамиды, основанием которой является треугольник ABC , а ребро SA определяет высоту h = 40 пирамиды, если заданы A(60,45,5), B(25,12,40), C(0,42,25).

5.2.6.Построить геометрическое место точек, равноудаленных от точек M

иK (рис.5.15).

5.2.7.На прямой m найти точку, равноудаленную от двух данных точек A

иB (рис.5.16).

5.2.8.Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой m (рис.5.17).

5.2.9. В плоскости Γ(a //b) построить проекции линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций Π2 , проходящей через точку A

(рис. 5.18).

5.2.10. Через точку M провести плоскость, параллельную прямой m и перпендикулярную плоскости Γ(ABC) (рис. 5.19).

Рис. 5.19

5.3.Задачи для самостоятельной работы

5.3.1.Достроить горизонтальную проекцию отрезка AB , если известна его натуральная величина, равная 50 мм (рис. 5.20).

5.3.2.Найти фронтальную проекцию A2 точки A, если она отстоит от прямой f на 20 мм (рис.5.21).

Рис. 5.22

5.3.4.Через точку M провести плоскость, перпендикулярную прямой h

(рис.5.23).

5.3.5.Построить проекции пирамиды, основанием которой является треугольник ABC , а высота, равная 40 мм проходит через точку S (рис. 5.24).

5.3.6.Построить геометрическое место точек, удаленных от заданной плоскости ABC на расстоянии 30 мм (рис. 5.24). Сколько решений имеет задача?

5.3.7.На прямой m найти точку, равноудаленную от двух данных точек A

иB (рис.5.25).

5.3.8.В плоскости Γ(ABC)построить проекции линии ската, проходящей

через точку S (рис. 5.24).

5.3.9. Через точку M провести плоскость, параллельную прямой a и перпендикулярную плоскости Γ(ABC) (рис. 5.26).

Рис. 5.26

5.3.10.Построить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC , если один из катетов расположен на прямой l, а одной из вершин является точка A (рис. 5.27).

5.3.11.Определить угол наклона прямой l к плоскости Γ(ABC) (рис.5.28).

Рис. 5.28

5.4.Задачи повышенной сложности

5.4.1.Построить горизонтальную проекцию прямой m, перпендикулярной прямой k (рис.5.29).

5.4.2.Построить проекции квадрата ABCD по данной стороне AB , если известно, что сторона AD принадлежит прямой m (рис.5.30).