3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.

1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:

,

где нормальные векторы: и ₂, - угол между векторами и , т.е. угол между прямыми. Тогда:

(7)

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:

(8)

Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов и :

(9)

2 ) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами (рис. 5): ,

где . Тогда

.

Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. , , , , (*).

За принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол до совмещения со второй прямой.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояние точки от прямой определяется формулой:

(10)

Доказательство смотри в другом файле.

Замечания.

1. Если две прямые и заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,

(11)

Пример 1. Даны точки , , .

Найти:

1) Уравнение прямой .

Согласно уравнению (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:

, или .

2) Уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой .

Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка это точка , параллельно прямой значит перпендикулярно ее нормальному вектору . Следовательно, запишем

.

3) Уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точка это точка . Согласно уравнению (3), запишем

4) Уравнение медианы треугольника .

На медиане образуем текущий вектор .

Найдем координаты точки - середины стороны :

Образуем вектор , расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы :

, или .

5) Уравнение высоты .

На высоте возьмем текущую точку и образуем текущий вектор . Так как , где , то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой (скалярное произведение векторов равно нулю):

или .

6) Длину высоты .

Заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки до прямой . Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой .

На стороне образуем текущий вектор .

Запишем условие параллельности векторов , где :

, или в общем виде .

Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:

.

Пример 2. Дана прямая : и точка .

Найти:

1) Для прямой уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент , отрезок, отсекаемый по оси ординат.

Разрешив уравнение прямой относительно , получаем уравнение с угловым коэффициентом:

: . Отсюда , .

2. Нормаль и направляющий вектор прямой - .

Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой , есть координаты нормального вектора, то есть .

Поскольку направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):

где .

Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например, , тогда , то есть . Получаем направляющий вектор .

2. Каноническое уравнение прямой .

Для составления канонического уравнения (3) прямой нам необходимо знать точку , лежащую на , и направляющий вектор . Так как координаты вектора были получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки .

Зафиксируем произвольное значение, например, и подставим его в уравнение прямой . Получим . Следовательно, .

Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой (10), находим:

.

2. Уравнение прямой , параллельной - и проходящей через точку .

Прежде всего, заметим, что точка не лежит на прямой , поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую , проходящую через параллельно , но не совпадающую с .

Пусть - текущая точка прямой . Так как текущий вектор перпендикулярен вектору нормали прямой , то . Отсюда получаем уравнение прямой :

или

2. уравнение прямой , перпендикулярной - и проходящей через точку .

Пусть - текущий вектор прямой . Из условия параллельности и нормали прямой , получаем уравнение :

.

Пример 3. Проверить, являются ли прямые линии

,

1. Параллельными.

Прямые и будут параллельны, если их нормали . Из общего уравнения прямой найдем нормаль . Чтобы найти нормаль ₂ приведем уравнение прямой к общему виду: . Отсюда .

П оскольку условие параллельности векторов и ₂ не выполняется, так как , стало быть, и не параллельны.

б) Перпендикулярными.

Прямые и будут перпендикулярны, если ₂. Но условие перпендикулярности для векторов и ₂ не выполняется, так как . Следовательно, не перпендикулярна .

в) Найти угол между и .

Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим

.

Так как , , , то .