8.А Окружность
Пусть
– центр окружности радиуса
,
тогда уравнение окружности имеет вид:
8.Б. Эллипс (в декартовой системе координат)
Э
ллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух
данных точек, называемых фокусами
эллипса, постоянна и равна
(рис. 13).
Пусть
фокусами эллипса являются точки
и
,
при этом
есть фокальная ось эллипса.
– некоторая точка, принадлежащая
эллипсу. По определению эллипса, для
любой его точки
,
имеем:
Пусть
ось
совпадает с фокальной осью
.
Начало координат выберем посередине
между фокусами
и
,
а ось
перпендикулярно фокальной оси. При
таком выборе системы координат уравнение
эллипса примет вид:
.
Действительно,
согласно рисунку 13,
.
Следовательно,
.
Аналогично
.
Отсюда, по определению,
Преобразуем полученное уравнение эллипса.
Отсюда получаем искомое уравнение эллипса.
Так
как из
следует, что
т.е.
,
то полагают
и получают каноническую
(простейшую) форму
уравнения эллипса:
.
(33)
Эксцентриситет
эллипса:
.
– вершины
эллипса, a
директрисы имеют уравнения:
(рис. 14).
Параметрические уравнения эллипса (рис. 15):
8.В. Гипербола
Г
иперболой
называется множество точек плоскости,
разность расстояний которых до двух
данных точек, называемых фокусами
гиперболы, постоянна и равна
(рис. 16).
Фокальная
ось гиперболы
;
,
– фокальные радиусы гиперболы,
соответствующие
точке
.
;
,
(
по свойству сторон треугольника).
Каноническое уравнение гиперболы
.
Обозначим
,
тогда уравнение гиперболы примет вид:
.
(34)
Вершины
гиперболы:
– вещественные вершины;
– мнимые вершины.
Прямые
являются асимптотами гиперболы (рис.
17).
Гипербола
состоит из двух несмыкающихся ветвей,
лежащих в углах между прямыми
,
и неограниченно приближающихся к этим
прямым.
вещественная ось,
– мнимая ось.
Эксцентриситет
гиперболы
.
Директрисы гиперболы обладают тем свойством, что отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Уравнение
директрис
или
.
8.Г. Парабола
П
араболой
называется множество точек плоскости,
одинаково удаленных от заданной прямой
(директрисы) и заданной точки (фокуса).
Пусть точка
– фокус. Прямая
– директриса параболы;
– произвольная точка параболы,
параметр параболы.
По
определению параболы
.
Уравнение параболы с вершиной в точке
и директрисой
(см. рис. 18) , заданной уравнением
,
имеет канонический вид:
.
(35)
З
амечание:
если положить
,
то
,
то есть
(
).
Эксцентриситет параболы
= 1.
Другие виды параболы:
2)
(рис. 19) - парабола с осью симметрии
,
фокусом
и директрисой
.
3
)
- (рис. 20.) парабола с осью симметрии
,
фокусом
и директрисой
.
4)
- (рис. 21.) парабола с осью симметрии
,
фокусом
и директрисой
.