Пример 18. Установить, что уравнение

определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, координаты фокусов , , эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж.

Решение.

1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки:

.

Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть:

,

,

.

Разделим обе части уравнения на 45, получим

.

2. Введем новую систему координат , полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:

(1).

Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:

, .

Это есть канонический вид эллипса с центром , большой полуосью , малой полуосью . Фокусы эллипса располагаются на оси на расстоянии от начала координат , в точках , в новой системе координат XOY.

Вычисляем, , , . Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством . Отсюда . Директрисы эллипса в системе XOY задаются уравнениями . В нашем случае, .

3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе , воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат:

центр : , ,

фокусы : _, , : , .

Уравнения директрис: .

4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат образуем новую систему координат так, чтобы новое начало координат совпадало с точкой . При указанном выборе, оси координат системы являются осями симметрии эллипса, а точка - центром симметрии. Теперь симметрично по оси отложим о трезки длины , а по оси отрезки длины .

Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси симметрично относительно на расстоянии отложим точки , - фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями , то они располагаются параллельно , причем одна из них проходит через точку , другая через .

Остальные примеры в другом файле.

Полярная система координат.

При решении многих задач аналитической геометрии оказывается более удобным определять положение точки на плоскости не прямоугольными декартовыми координатами, а так называемыми полярными координатами.

Система полярных координат задается полюсом - точкой и полупрямой, исходящей из полюса («луч» - - полярная ось).

, . Числа ρ и  определяют положение точки относительно системы координат, их называют полярными координатами точки .

Чтобы установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и координатами этой точки, ограничим изменение полярного угла промежутком (или иным промежутком длины ). Значения , удовлетворяющие этому условию, называют главными значениями. Назовем полярные координаты основными, если , а есть главное значение полярного угла, т.е. если .