Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.

Пусть данная плоскость ,

- каноническое уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .

Условие принадлежности прямой плоскости имеет вид:

(31)

Если прямая лежит в плоскости, то она этой плоскости параллельна (первое уравнение) и любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости (второе уравнение).

Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть имеем две прямые:

и .

Отсюда, направляющие вектора этих прямых , и точки , лежат на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы и ₂ компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов: или

. (32)

Условие (32) является также критерием пересечения двух прямых.

Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:

1. п араллельны, ,

2. пересекаются,

3. прямые (1) и (2) скрещиваются (рис. 12), следовательно, . Тогда возникает вопрос об определении расстояния между скрещивающимися прямыми, как высоты параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах:

.

Пример 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым :

: и : .

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой и параметрического уравнения прямой получим координаты их направляющих векторов и . Условие компланарности этих трех векторов дает уравнение плоскости α:

.

Пример 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую :

.

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор .

Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор определяется из равенств:

.

Так как , , то .

На прямой зафиксируем произвольную точку . Координаты найдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например, :

.

Решая эту систему, получим , . Таким образом, . Соединив точки и , получим вектор , принадлежащий плоскости α.

Для любой точки выполняется условие компланарности векторов . И, так как

не параллелен , то уравнение плоскости дается равенством:

Пример 10. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые

: и : .

Решение.

Из канонического уравнения прямой найдем координаты некоторой точки , расположенной на : и, соединив ее с текущей точкой , образуем текущий вектор .

Из уравнений прямых получим направляющие вектора , , которые, как и прямые , , принадлежат плоскости . Так как для любой точки выполняется условие компланарности векторов , а не параллелен ₂, то искомая плоскость описывается уравнением:

Остальные семь примеров в другом файле.

8. Кривые второго порядка.

Порядком алгебраического уравнения называется высшая степень входящего в уравнение неизвестного. Порядок кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости.

Общий вид кривой 2-го порядка:

К кривым 2-го порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.