5.Б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая линия задана общими уравнениями:

, (23)

где , – нормальные векторы заданных плоскостей .

Выберем на прямой определенную точку . Для этого, например, зададим произвольно, а и получим из системы (23).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор :

.

Следовательно, каноническое уравнения прямой, соответствующее системе (23), имеет вид:

(24)

6. Угол между двумя прямыми. За угол между двумя прямыми

, ,

принимается угол между их направляющими векторами.

Здесь , – направляющие вектора данных прямых:

(25)

Условие параллельности двух прямых:

(26)

Условие перпендикулярности двух прямых:

(27)

Пример 4. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: , .

Согласно формуле (21) запишем:

.

Пример 5. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой :

Решение. На прямой образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой находим направляющий вектор , здесь . Так как , то для любой точки . Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой :

.

Пример 6. Известны уравнения двух прямых:

: , и :

1. Проверить, являются ли и параллельными.

2. Проверить, являются ли и перпендикулярными.

3. Найти угол между прямыми и .

Решение.

а) Из условия параллельности прямых имеем, , если их направляющие вектора и параллельны. Координаты вектора легко получаются из заданных канонических уравнений прямой : . Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор находится как векторное произведение: = , где , .

Вычисляем,

.

Так как координаты векторов и не пропорциональны, то условие параллельности для векторов и не выполняется, а значит, не параллельна .

b) Из условия перпендикулярности прямых, , если . Так как , то условие перпендикулярности векторов и не выполняется. Стало быть, не перпендикулярна к .

c) Угол между прямыми найдем по формуле (25):

.

Пример 7. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой :

.

За точку , через которую проходит искомая прямая в уравнении (20), можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью . Так как при этом , то координаты определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить :

.

Откуда находим , и .

Итак, воспользовавшись теперь общей формулой (20), получаем:

.

7. Прямая и плоскость.

1. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 11).

П усть даны плоскость : c нормальным вектором и прямая с направляющим вектором .

Угол между векторами и отличается от угла между прямой и плоскостью на ; или

(28)

2) Условие параллельности прямой и плоскости:

(29)

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

(30)