1.20. Центр тяжести твердого тела.
Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве. Силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Координаты центра тяжести как центра параллельных сил можно определить по формулам:
;
;
; (20.1)
где
,
,
- координаты точек приложенных сил
тяжести частиц тела.
Положение центра тяжести однородного тела зависит только от геометрической формы тела. Координаты центра тяжести пластины определятся формулами:
;
,
(20.2)
где
- площадь всей пластины;
-
площадь части пластины.
Аналогично можно выразить координаты центра тяжести линии:
;
;
,
(20.3)
где
-
длина всей линии;
-
длина участка линии.
При определении координат центра тяжести тела плоской формы, тело разбивают на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно и используют формулы (20.2) или (20.3). Например, координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис.48, можно определить двумя способами:
Разбить пластину на прямоугольники
,
и вырез
.
Тогда
;
;
где
,
,
- площади частей пластины и выреза.
2. Можно было
рассмотреть пластину
,
и из нее вычесть два выреза
и
.
Тогда
;
Центры тяжести некоторых однородных тел.
Центр тяжести дуги окружности в силу симметрии лежит на оси
с
имметрии
(рис.49) и имеет координату:
,
(20.4)
где
- угол, измеряемый в радианах.
Центр тяжести площади кругового сектора лежит на оси
с
имметрии
(рис.50) и имеет координату:
.
(20.5)
Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан:
.
Пример №12.
Определить
положение центра тяжести автокрана и
статические нагрузки на его передний
и задний
спаренные колесные хода, если общая
масса автокрана
,
масса шасси
;
масса стрелы
;
кабины крановщика с поворотным устройством
.
Размеры приведены на рис.52а.
Р
ешение:
Данные для определения координат центра тяжести сведены в табл. 2.
Элемент |
Масса
|
Координаты центра тяжести |
|
||||
|
|
|
|
||||
Кабина крановщика с поворотным устройством |
4,8 |
7,6 |
2,5 |
36,48 |
12,0 |
||
Шасси |
7,2 |
2,0 |
1,4 |
14,4 |
10,08 |
||
Стрела |
4,0 |
0,8 |
3,8 |
3,2 |
15,2 |
||
Сумма |
16,0 |
|
|
54,08 |
37,28 |
||
,
,
,
;
.
Для определения статических нагрузок на передний и задний спаренные колесные хода составим расчетную схему (рис.52б). Для плоской системы параллельных сил составим два уравнения равновесия:
(1)
(2)
Тогда
из (2):
из (1):
К И Н Е М А Т И К А