2.1. Предмет и задачи кинематики.

Кинематика - раздел механики, который изучает геометричес­кие свойства механического движения тел без учета их массы и причин, вызывающих движение. Под механическим движением понима­ется происходящее с течением времени перемещение точек и тел в пространстве. При движении твердого тела его точки могут дви­гаться различно, поэтому изучение кинематики начинается с изу­чения-движения самого простого объекта - материальной точки.

Положение точки в пространстве определяется относительно системы отсчета, за которую может быть принято какое-то твердое тело и связанная с ним система координат.

Задачи, решаемые методами кинематики точки, можно разде­лить на следующие типы:

1. определение траектории движения точки;

2. определение скорости и ускорения точки по заданному закону движения - прямая задача кинематики;

3. определение закона движения точки в выбранной системе отсче­та - обратная задача кинематики.

0. Способы задания движения точки.

Определить движение точки - это значит определить положе­ние этой точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета.

Кривая, которую описывает точка при своем движении в про­странстве относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией (рис. 53,54).

Движение точки можно задать векторным, координатным и естественным способами.

При векторном способе положение точки задается радиусом - вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О (рис. 55). Каждому моменту времени соответствует новое значение радиуса – вектора . Следовательно, для векторного способа задания движения уравнение движения точки имеет вид:

(2.1)

В декартовой системе координат (рис.56) положение точки определяется тремя ее координатами, изменяющимися во времени. Тогда в координатной форме уравнения движения точки будут иметь следующий вид:

, , (2.2)

Если точка движется в плоскости , будем иметь два уравнения движения:

, (2.3)

При прямолинейном движении точки прямую, по которой движется точка принимаем за ось координат. Уравнение движения точки имеет вид:

. (2.4)

Между векторным и координатным способами задания движения су­ществует непосредственная связь. Координаты точки являются проекциями на оси координат, ее радиуса-вектора , а сам ра­диус-вектор можно определить через его проекции на координат­ные оси:

, (2.5)

где , , - орты координатных осей , , .

Естественный способ задания движения точки используется, если точка движется по криволинейной траектории (рис. 57). В этом случае для точки должны быть известны траектория движения, начало отсчета, направление отсчета.

Принимая за начало отсчета точку и выбрав положительное нап­равление отсчета, положение точки в любой момент времени можно определить дуговой координатой , которая изменяется с течением времени (рис.58).

Уравнение движения точки в естественной форме будет иметь вид:

. (2.6)

Взаимосвязь между координатным и естественным способами задания движения точки можно установить через дифференциал дуговой координаты:

, (2.7)

где , , - дифференциалы координат точек;

, , (2.8)

После интегрирования (2.7) в интервале времени от до получим:

(2.9)

Знак плюс соответствует движению в положительном направлении отсчета дуговой координаты, знак минус – положительному направлению. В формулах (2.8) и (2.9)

, , - производные по времени от соответствующих координат (см. формулы 2.13).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.

Пример №1.

Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью . Найти траекторию движения средней точки шатуна, если . В начальный момент времени ползун находиться в крайнем правом положении. Начало координат поместить в точку .

Положение механизма определяется углом поворота ведущего звена – кривошипа , изменяющимся во времени по закону .

В выбранной системе отсчета выразим координаты точки :

. (1)

С учетом исходных данных уравнения (1) примут вид:

. (2)

Уравнения (2) определяет закон движения точки . Для нахождения уравнения траектории из уравнений движения необходимо исключить параметр :

, .

Возведем в квадрате и сложим:

.

Следовательно, средняя точка шатуна движется по замкнутой эллиптической траектории с центром в точке и полуосям:

, .