2.8. Плоскопараллельное движение твердого тела.

Плоскопараллельным (или просто плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то неподвижной плоскости. Плоское движение совершают многие звенья механизмов и машин, катящееся колесо.

Ч астным случаем такого движения является вра­щение тела вокруг неподвижной оси. Все звенья кривошипно-ползунного механизма (рис.83), состоящего из кривошипа , ползуна и шарнирно соединенного с ним шатуна , совершают плоское движе­ние, так как все звенья движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости чертежа). Одновременно движение кривошипа является вращательным, движение ползуна - поступательным. Все точки колеса (рис. 84) движутся в плоскостях, параллельных неподвижной вертикальной плоскости. При движении по закруглению движение колеса не будет плоским.

Плоскопараллельное движение твердого тела является состав­ным, оно складывается из поступательного движения вместе с ка­кой-либо точкой, принятой за полюс, и вращения вокруг оси, про­ходящей через эту точку (рис.85). Поэтому плоское движение твердого тела описывается тремя уравнениями:

(2.31)

За полюс обычно принимают точку, скорость которой известна или ее легко можно вычислить. Например, движение колеса (рис.87) складывается из поступательного движения вместе с полюсом-центром колеса и вращения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через полюс. Скорость любой точки тела, совершающего плоское движение, равна геометрической сумме скорости полоса и скорости точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис.86):

, (2.32)

где ,

- угловая скорость звена.

Вектор скорости во вращательном движении направлен перпендику­лярно к отрезку .

С корость точки колеса (рис.87) складывается из скорости полюса-центра ко­леса и скорости во вращении точки вместе с колесом относительно оси .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА

МЕТОДОМ ПОЛЮСА.

Пример №9.

Для заданного положения шарнирного четырехзвенника (рис.88) определить скорость точки и угловую скорость звена , если кривошип вращается с постоянной угловой ско­ростью , , .

Р ешение:

1. Определим скорость точки , принадлежащей кривошипу :

.

2. Определим скорость точки , принимая за полюс точку :

, , (1)

где - угловая скорость звена .

Спроецируем векторное равенство (1) на оси и , направляя ось вдоль звена .

На ось : ;

;

На ось : ;

.

Проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

(2.33)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА ПО ТЕОРЕМЕ

О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА.

Пример №10.

Стержень в точке шарнирно связан со стержнем , который в точке скользит по наклонной плоскости (рис.90). Определить скорость точки стержня в положении, когда и скорость стержня равна .

Решение:

1. Стержень совершает поступательное движение, следовательно, скорость точки равна скорости .

2. Скорость точки направлена вдоль плоскости, наклоненной к горизонту под углом . Применим теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки:

, откуда

При определении скоростей точек тела за полюс можно принять точку , скорость которой равна . Такую точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В этом случае скорость любой точки тела будет равна:

(2.34)

где .

Следовательно, скорость любой точки тела пропорциональна рас­стоянию этой точки до МЦС (рис.91):

;

,

т.е. для всех точек тела соблюдается соотношение:

. (2.35)

При определении положения мгновенного центра скоростей (МЦС) возможны следующие случаи:

1. Положение МЦС заранее известно (рис.92).

Е сли колесо обкатывает­ся по неподвижному коле­су , то МЦС - точка находится в точке каса­ния этих колес.

Скорость точки , при­надлежащей кривошипу :

.

Угловая скорость колеса :

.

Скорость точки пропорциональна расстоянию :

.

Вектор скорости точки направлен перепендикулярно отрезку .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ

МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ.

Пример №11.

Определить скорости точек и ступенчатого колеса, имеющего размеры , (рис.93), если скорость центра колеса .

Р ешение:

Мгновенный центр ступенчатого ко­леса находится в точке , где колесо касается неподвижной по­верхности. Для скоростей точек колеса можно составить соотноше­ние:

Угловая скорость колеса:

.

2. Если известны по направлению скорости двух точек тела и мо­дуль скорости одной точки, то МЦС находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей этих точек. Если для кривошипно-ползунного механизма (рис.94) задана угловая скорость ведущего звена, то скорость точки можно определить по формуле:

.

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползун движется поступательно в горизонтальных на­правляющих, т.е. направление скорости точки известно. МЦС звена находится на пересечении перпендикуляров и , проведенных к векторам скоростей и .

Д ля определения скорости точки и угловой ско­рости шатуна можно составить соотношение:

.

Пример №12.

Конец стержня скользит со скоростью по наклонной плоскости. Другой конец шарнирно связан с роли­ком, который катится без скольжения (рис.95). Определить ско­рость центра ролика и угловую скорость ролика, если угол .

Р ешение:

Мгновенный центр скоростей ролика находится в точке , где ролик касается неподвижной поверхности. Векторы и скоростей точек и направлены перпендику­лярно линии .

Скорость точки определим с по­мощью мгновенного центра скоростей звена , который находится в точке на пересечении перпен­дикуляров, проведенных к векторам скоростей и . Скорос­ти и пропорциональны расстояниям соответствующих точек до МЦС:

.

Так как - равносторонний, ,

.

Скорости точек и ролика с его угловой скоростью связаны соотношением:

,

где - угловая скорость ролика;

;

.

3. Если скорости точек и тела параллельны между собой, а линия не перпендикулярна вектору (рис.96), то мгновенный центр скоростей звена будет находиться в бесконечности. Так как , , угловая скорость звена будет равна нулю, что видно из соотношения:

.

Шатун при повороте ведущего звена на совершает мгновенно поступательно движение. Для такого движения скорости всех точек звена равны между собой:

, .

Пример №13.

Для заданного положения механизма (рис. 97) определить скорость ползуна , угловую скорость звена , если кривошип размером вращается с угловой скоростью =1с^-1, , длина звена , .

Решение.

1. Определяем скорость точки , принадлежащей кривошипу : м/с. Вектор скорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползун движется в горизонтальных направляющих. Векторы и скоростей точек и параллельны между собой. Мгновенный центр скоростей звена находится в бесконечности, что следует из соотношения:

,

где , , .

2.Следовательно, звено совершает мгновенное поступательное движение. Все точки звена движутся с одинаковыми по модулю и направлению скоростями, т.е.

м/с.

3. Ползун движется в вертикальных направляющих. Мгновенный центр скоростей звена лежит в точке . Для звена соблюдаются следующие соотношения:

.

Так как - равнобедренный, , скорости точек и равны между собой:

;

угловая скорость звена : .

4. Если скорости точек и тела параллельны между собой и при этом линия перпендикулярна вектору , то МЦС звена определяется геометрическим построением (рис. 98,а, б).

Численные значения скоростей точек и должны быть известны. Положение МЦС определяются из соотношения:

Пример №14.

Дифференциальный ворот состоит из двух валов и с радиусами и , где .

Н а оба вала намотана одна нить, на которой находится подвижный блок радиуса с подвешенным к нему грузом (рис. 99). Определить скорость груза, угловую скорость подвижного блока, если валам рукоятки сообщена угловая скорость .

Решение:

1. Принимая, что нить наматывается без проскальзывания, выразим скорости точек и через угловую скорость барабана и его размеры:

; .

Подвижный блок совершает плоскопараллельное движение. Скорости двух точек блока и параллельны и направлены в противоположные стороны. Мгновенный центр скоростей блока – точку , найдем построением. Положение точки определим из соотношения:

.

Из свойства пропорции получим:

;

, откуда

.

Угловая скорость подвижного блока:

.

Скорость груза равна скорости центра блока, которая пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра скоростей блока:

;

.

.

Пример №15.

Для заданного положения механизма (рис. 100) определить скорости точек , , , угловые скорости всех его звеньев, если , , , .

Решение:

Зная угловую скорость кривошипа , найдем скорость точки :

Для колеса мгновенный центр скоростей находится в точке касания с неподвижным колесом 1. Угловая скорость колеса :

.

Скорость точки , принадлежащей колесу , пропорциональна расстоянию :

Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу :

Скорости точек и колеса 3 известны по модулю и направлению. Мгновенный центр скоростей колеса 3 находится в точке Р₃. Положение точки Р₃ найдем из соотношений

;

;

;

;

.

Пример №16.

Кривошип (рис. 101) вращается с угловой скоростью . Колесо , соединенное с кривошипом в точке , обкатывается по колесу , вращающемуся с угловой скоростью . Определить угловую скорость колеса и скорость точки , если , .

Р ешение:

1. Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу : .

2. Определим скорость точки , принадлежащей колесу 1, вращающемуся с угловой скоростью : .

3. Для колеса , совершающего плоское движение, известны скорости точек и . Мгновенный центр скоростей колеса -точку найдем построением. Угловую скорость колеса определим из соотношения:

.

Для определения положения мгновенного центра скоростей используем свойство пропорции:

;

.

Скорость точки пропорциональна расстоянию до МЦС: ;

.

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно отрезку в сторону угловой скорости .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ.

Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис. 102),

. (2.36)

Вектор направлен под углом к отрезку АВ, где

. (2.37)

Так как значение угла неизвестно, предварительно вектор раскладывают на нормальную и касательную составляющие:

, (2.38)

где , . (2.39)

Вектор направлен всегда вдоль прямой к полюсу , вектор направлен перпендикулярно отрезку в сторону вращения, если оно ускоренное (рис. 103,а) или против вращения, если оно замедленное (рис. 103, б).

Пример №17.

Для механизма, изображенного на рис. 104, определить ускорение ползуна и точки , если колесо радиуса катится с постоянной скоростью его центра , угол , .

Р ешение:

1. Колесо катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью его центра, т.е. .

Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку , (1)

где , ;

и - соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.

Так как центр колеса движется с постоянной скоростью, то , . Следовательно,

.

Угловую скорость колеса найдем, принимая во внимание, что мгновенный центр колеса находится в точке касания его с неподвижной поверхностью. Тогда

;

.

2. Определим ускорение точки , принимая за полюс точку :

. (2) В векторном равенстве (2) для вектора ускорение точки известно направление, так как ползун движется в горизонтальных направляющих. Предполагаем, что вектор направлен по горизонтали вправо. Вектор ускорения точки (полюса) известен по модулю и направлению. Определим нормальную составляющую ускорения звена во вращательном движении вокруг полюса: ,

где - угловая скорость звена .

Так как векторы скоростей и точек и звена параллельны между собой (рис. 104), мгновенный центр скоростей звена находится в бесконечности, т.е. звено совершает мгновенно поступательное движение. Следовательно,

, .

Выразим касательную составляющую ускорения:

.

Численное значение углового ускорения звена неизвестно. Вектор направлен перпендикулярно составляющей .

В векторном равенстве (2) неизвестны численные значения ускорений , .

Для их нахождения спроецируем (2) на две взаимно перпендикулярные оси координат и , направляя ось вдоль звена :

на ось : ; (3)

на ось у: . (4)

Из уравнения (3) с учетом того, что , получим .

Из уравнения (4) определим составляющую :

Угловое ускорение звена :

.

3. Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку . . (5)

Определим предварительно величину составляющих , :

,

так как ;

Так как ускорение точки неизвестно ни по модулю, ни по направлению, определим его по проекциям на координатные оси. Для этого необходимо спроецировать векторное уравнение (5) на координатные оси.

;

;

.

Пример №18.

Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности (рис. 105), имея в данный момент времени скорость центра V_A=1м/с и ускорение а_А=2м/с². Определить скорость и ускорение точки В.

Решение:

1 . Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку :

. (1)

Так как направление вектора ускорения точки неизвестно, необходимо определить численные значения всех слагаемых правой части векторного уравнения (1).

Выразим касательную и нормальную составляющие ускорения :

; ,

где , - соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.

Угловую скорость колеса определим, зная скорость точки и положение мгновенного центра скоростей колеса – точки : .

Угловое ускорение колеса определим как производную по времени от угловой скорости колеса: ;

;

.

Спроецируем векторное равенство (1) на координатные оси х и у: ;

;

.

Пример №19.

Для плоского механизма, состоящего из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных между собой и с опорами О₁ и О₂ шарнирно, положение механизма определяется углами , , , (рис. 106).

В едущее звено – кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью . Определить скорость точки , угловую скорость и угловое ускорение звена , если размеры звеньев механизма , , , , .

Решение:

1. Определим скорость точки кривошипа : .

Для звена известны направления скоростей и точек и , принадлежащих одновременно вращающимся звеньям и . Мгновенный центр скоростей звена находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам и . для точек , , звена запишем соотношения:

;

;

.

Так как - равносторонний, , следовательно,

;

;

.

Вектор скорости точки D направлен перпендикулярно отрезку , являющемуся высотой .

2. Скорость ползуна и угловую скорость звена 3 определим с помощью мгновенного центра скоростей звена 3, который находится в точке Р₃. Запишем соотношения для звена 3:

.

Из выразим ; ;

;

;

;

.

3. Так как кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью, ускорение точки определим по формуле: .

Принимая точку за полюс, выразим ускорение точки :

. (1)

Так как точка принадлежит звену , вращающемуся вокруг оси , ускорение точки состоит из нормальной и касательной составляющих:

. (2)

Ускорение звена АЕ во вращательном движении состоит из двух слагаемых:

. (3)

С учетом (2) и (3) векторное равенство (1) примет вид:

(4)

Выразим слагаемые векторного равенства (4):

;

;

;

.

В векторном равенстве (4) слагаемые и известны только по направлению. Для нахождения двух неизвестных величин спроецируем (4) на две координатные оси, направляя ось х вдоль звена , а ось у – перпендикулярно звену:

на ось х: , (5)

на ось у: , (6)

из (5)

.

Знак (-) показывает, что направление вектора противоположно показанному на чертеже.

Из (6):

Зная ускорение , найдем угловое ускорение звена 2: .