1.18.Пространственная система сходящихся сил.

Условие равновесия пространственной системы сходящихся сил определяется тремя уравнениями:

; ; . (18.1)

Пример №9. Определить усилия в шести стержнях, соединенных своими концами шарнирно друг с другом и с неподвижными опорами. В узлах К и М приложены силы и , составляющие с положительным направлением координатных осей углы, равные соответственно , , для силы и , , для силы . Взаимное расположение стержней в конструкции определяется углами и (рис.45).

Р ешение:

Так как для системы сходящихся сил можно составить три уравнения равновесия, расчет начинаем с узла К, в котором сходятся стержни 1,2,3. Предполагаем все стержни растянутыми. Растягивающие усилия в стержнях , и направлены от узла К. Составим три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

из (1):

из (2):

из (3):

Рассмотрим равновесие узла . Усилия и равны по модулю и противоположны по направлению. Усилие составляет с плоскостью угол . Для нахождения проекции усилия на координатные оси, необходимо предварительно найти проекцию на плоскость , а затем составляющие этой проекции на каждой из координатных осей. Составим три уравнения равновесия для системы сходящихся сил, приложенных к узлу :

(4)

(5)

(6)

из (6):

из (4):

из (5):

Знаки показывают, что стержни 1,3,4 – сжаты, а 2,5,6 – растянуты.

1.19. Равновесие произвольной пространственной системы сил.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно соблюдения следующих условий:

; ;

; ; . (19.1)

Следовательно, число неизвестных не должно превышать числа возможных уравнений равновесия. В некоторых случаях число возможных уравнений равновесия может быть уменьшено. Так, если все силы, приложенные к твердому телу, лежат в плоскости , то уравнения проекций этих сил на ось обращаются в тождество, и число уравнений равновесия сокращается до пяти.

Пример №10.

Однородная прямоугольная плита весом со сторонами и закреплена в точке сферическим шарниром, в точке цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем (рис.46). На плиту действует пара сил с моментом и силы и . Сила лежит в плоскости и составляет с осью угол , сила лежит в плоскости и составляет с осью угол .

Определить реакции связей при , , .

Р ешение:

На плиту действуют активные силы , , , пара сил с моментом , а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , , , цилиндрического шарнира (подшипника) – на две составляющие и , реакцию невесомого стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут. Для определения шести неизвестных реакций связей составим шесть уравнений равновесия действующих на плиту сил:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) (6)

Для определения момента силы относительно координатных осей, раскладываем силу на две составляющие и , численно равные проекциям этой силы на оси Z и X соответственно: , .

Решая систему уравнений (1)-(6), находим искомые величины:

из (5):

из (6):

из (1):

из (2):

из (4):

из (3):

Для проверки можно составить уравнение моментов относительно оси , проведенной через точку :

Реакции связей, значения которых получены отрицательными, имеют направления, противоположное показанному на чертеже.

Пример №11.

На косозубое колесо вала редуктора диаметром действует осевая сила , радиальная и неизвестное окружное усилие . На прямозубое колесо диаметром , закрепленное на том же валу, действует радиальная сила (рис. 47).

Определить реакции подшипников при следующих размерах: ; ; .

Решение:

Опорой горизонтального вала в точке является радиальный подшипник, его реакцию раскладываем на две составляющие и . В точке - радиально-упорный подшипник. Его реакцию раскладываем на три составляющие , , . Шестой неизвестной величиной является окружное усилие . Составим для вала шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Решая систему уравнений (1)-(6), находим неизвестные величины:

из (2):

из (5):

из (6):

из (1):

из (4):

из (3):