Group_theory_lecture

в правой части(3.4.37)образуют мат

рицы преобразований,соответствующие эле-

ментам A SL(2, C), в (2j + 1)- мерном неприводимом преставлении( неприводи-

мость следует из неприводимости этого представления для алгебры Ли sl(2), см .

предыдущий раздел).Это представление группы

SL(2, C) не является унитарным,

в чем можно убедиться непосредственно, з

аметив,что скалярное произведение

j

T j (T j ) =

j

1

s 2(j+m) t 2(j−m) = (|s|2 + |t|2)2j

m)−

)−

(3.4.39) usu36

j m m

(j + m)!(j

−

m)!|

|

| |

(2j)!

=

m=

j

)′

Tmj

(s, t) ◦ U =

Dmm(j) ′(α,β ) Tmj ′

(s, t) ,

(3.4.40)

usu37

m

где коэффициенты

'k (−1)

√

(j)

k

(j+m)!(j−m)!(j+m′)!(j−m′)!

j+m

k

k

m+m′

k

j

k

m′

Dmm′(α,β ) =

α

−

β

−

(β )

(α )

−

−

,

k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′)!

usu38

(3.4.41)

в параметризации(3.4.6):

α = cos(ψ/2)+in3 sin(ψ/2), β = (n2 +in1) sin(ψ/2) имеют

вид

'k (−1)

√

(j)

k

(j+m)!(j−m)!(j+m′)!(j−m′)!

j+m

k

k

m+m′

k

j

k

m′

Dmm′(ψ, n) =

α

−

β

−

(β )

(α )

−

−

.

k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′)!

usu39

α = cos ,

2θ - ei 21 (ψ+φ), β = sin ,

(3.4.42)

а в параметризации углов Эйлера(3.4.7):

2θ - ei 12 (ψ−φ)

записываются как

√

2k−m+m′

(j)

k

(j+m)!(j−m)!(j+m′)!(j−m′)!

θ

2j

θ

im′

ψ+imφ

Dmm′(ψ,φ,θ ) =

k (−1)

,tg(

2 )-

cos

(2 ) e

k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′)!

(3.4.43)

usu40

'

Функции(3.4.43)называются D-функциями Вигнера.

Отметим,что конечномерные предст

авления(3.4.40),

(3.4.41)группы

SU(2)

являются унитарными

)

′ Dmm(j) ′′ = δm′m′′ ,

Dmm(j)

так как форма(3.4.39)очевидно инвариант

на(в силу инвариантности квадратич-

ной формы (|s|2 + |t|2)) относительно преобразований(3.4.40).

Упражнения.

1.Пользуясь формулами(3.4.

17)построить четырехмерное(

j = 3/2) представ -

ление со старшим весом для алгебры su(2) и найти соответствующие эрмитовы

матрицы Si для оператора вектора спина.

2.Доказать,что диффе

ренциальные операторы

∂

∆

e− = −z2

∂

∂

(3.4.44)

sl24

H = −z

−

,

− ∆ z ,

e+ =

,

∂z

2

∂z

∂z

(где ∆ – константа) образуют базис алгебры Ли sl(2). Вычислить оператор Кази-

мира J2 для этого представления алгебры Ли sl(2).

3.Построить представления для

sl(2) (3.4.44)со старшим весом

v0:

H v0 = −

∆

v0 , e+ v0 = 0 ,

2

т.е. v0 = 1. Показать, что если ∆ = −2j (j Z+/2 – полуцелое положительное

число),то v2j+1 = 0 и мы получаем (2j + 1)- мерное представление в пространстве

полиномов с базисом vn zn (n = 0, 1, . . . , 2j). Если ∆ ̸= −2j, то мы получаем

бесконечномерное представление в пространстве рядов с базисом vn zn (n =

0, 1, . . . , ∞).

B± SL(2) с элементами

4.Рассмотрим две абелевы подгруппы

b

(α) =

* 0 1 +

B+

, b−(α) = * α

1 +

B− .

+

1

α

1

0

Доказать соотношение "звезда-треугольник"

b+(α1) b−(

1

) b+(α3) = b−(

1

) b+(α¯2) b−(

1

) ,

α¯1

α2

α¯3

где параметры {αi} и {α¯i} связаны соотношениями

α1α3 + α2α3 + α1α2 =

α¯1α¯2α¯3

= α¯iαi

( i) ,

(3.4.45)

mapzt

α¯1 + α¯2 + α¯3

которые известны как преобразования"зв

езда-треугольник"для сопротивлений в

элетрических цепях:

u2, I2

u2, I2

α¯3

α¯1

α2

I

u1, I1

u3, I3

u3, I3

α1

•

α3

u1, I1

α¯2

u

Указание.Эти преобразования сопротивлений можно получить следующим образом.Необходимо записать законы Киргоффа

I2 =

I1 + I3, U23 + U31 = U21 (Uij = ui − uj ) и законы Ома для левой и правой цепей:

U31

= I1α1 − I3α3 , U23 = I3α3 + (I1 + I3)α2 , U21 = I1α1 + (I1 + I3)α2

(3.4.46)

om1

U31

= Iα¯2 , U23 = (I + I3)α¯1 , U21 = (I1 − I)α¯3 I =

I1α¯3 − I3α¯1

.

(3.4.47)

om2

α¯1 + α¯2 + α¯3

C(T1 T2)C−1 = α mα Tα

(3.5.1) klgo

C(V1 V2) = α mα Vα

ˆ

где mα кратность вхождения неприводимого представления Tα в тензорное произ-

ведение T1 T2,

ˆ

C – оператор переводящий соответствующие пространства пред-

ставлений друг в друга, матричные элементы оператора

ˆ

C называются коэффи-

циентами Клебша-Гордана.Формула(3.5.1)называется разложением(или рядом)

Клебша-Гордана.

Проблема построения ряда Клебша-Гордана в теории

Подход1.

Прежде всего мы обсудим метод нахождения кратностей mα в разложении(3.5.1)

для случая неприводимых представлений группы SU(2). Пусть мы имеем два

неприводимых представления T j1 , T j2

группы SU(2) (или,что то же самое для

алгебры(3.4.22)),которые действуют в пространствах с базисными векторами Tmj

(3.4.29) c j = j1

и j = j2,и которые реализуются в виде 2j1 + 1 и 2j2 + 1-мерных

матриц,соответственно.Пер

вое соотношение (3в .5.1)

можно переписать в виде

C(T j1 T j2 )C−1 = j mj T j ,

(3.5.2)

tt-t

j

ˆ

(3.4.12)

из которого следует соотношение для характеров χ

(ψ) элементов

U(ψ)

группы SU(2):

χj1 (ψ) · χj2 (ψ) = j mj χj (ψ) ,

(3.5.3)

chit

где

j

j j, m|T j (U(ψ))|j, m ,

χj(ψ) = Tr2j+1 ,T j(U(ψ))- = m=

−

)

а угол поворота ψ характеризует класс сопряженности элементов группы SU(2).

Действительно,направление оси поворота,которое задается вектором

(n1, n2, n3),

можно изменить на произвольное с помощью преобразования подобия(т.к.пово-

рот на угол ψ вокруг любой оси n преобразованиями подобия сводится к пово-

роту на угол ψ вокруг оси e1 (3.3.9)).Заметим теперь,что векторы базиса

|j, m

(m = −j, −j + 1, . . . , j −1, j) представления T j

можно выбрать так,чтобы они пре-

образовывались по одномерным неприводимым представлениям t(m)(ψ) := eimψ

(3.1.9)подгруппы SO(2) поворотов вокруг оси e1 (или любой другой оси e2 или

e3).При сужении группы

SU(2) (или SO(3)) на ее подгруппу SO(2) разложение

представления T j по одномерным представлениям t(m) подгруппы SO(2) можно

записать в виде:

T j = mj =−j t(m). Пользуясь этими фактами мы можем вычислить

характер представления T j для любого поворота на угол ψ:

j

eiψ(j+1/2) − e−iψ(j+1/2)

sin(ψ(j + 1/2))

(3.5.4)

χj(ψ) =

eimψ =

=

.

chip

m=−j

eiψ/2

e−iψ/2

sin(ψ/2)

−

)

sin(ψ(j1

+ 1 )) sin(ψ(j2

+ 1 ))

sin(ψ(j1 + j2

+ 1 )) sin(ψ/2) + sin(ψ(j1)) sin(ψ(j2))

2

2

=

2

sin(ψ/2)

sin(ψ/2)

sin2(ψ/2)

элементов оператора

ˆ

(алгеб-

C) в разложении(3.5.1) для случая группы SU(2)

(j = j1, j2) (3.4.29),которые являются мономами от переменных

(s1, t1) и (s2, t2),

соответственно.Легко проверить,применяя

вариации(3.4.21),что для таких пред-

ставлений инвариантной однородной функцией является комбинация (s1t2

−s2t1)n:

2

2

)

n

)i

n

ˆ

ˆ

n

( si∂ti )(s1t2 − s2t1)

= ( ti∂si )(s1t2 − s2t1)

= (H1

+ H2)(s1t2

− s2t1)

= 0 .

i=1

=1

I = (s1t2

− s2t1)

(s1s¯3

+ t1t3)

(s2s¯3

+ t2t3)

,

(3.5.5)

confinv

n

¯

n2

¯

n1

такой,что

(1)

(2)

(3)

ˆ (1)

ˆ (2)

¯ (3)

)I .

(3.5.6)

cfteq

(ˆe±

+ eˆ±

+ e¯± )I = 0 ,

(H

+ H

+ H

√

j

m , j m j m =

( )k

(j1+m1)!(j1

−

m1)!(j2+m2)!(j2

−

m2)!(j+m)!(j

−

m)!

,

k

)!

1

1 2 2

|

− (j1−m1−k)!(j1−n+m1+k)!(j2+m2−k)!(j2−n−m2+k)!k!(n−k

'

(3.5.9)

kgk

(m = m1 + m2) называются коэффициентами Клебша-Гордана(ККГ).Дробь в

правой части(3.5.9)обращается в ноль,если одно из чисел

(j1 −m1 −k) и т . д . в зна-

менателе становится отрицательным(кроме того

(0)! = 1).Соотношение(3.5.8),

сравнивая его (3с .4.33),можно переписать в виде

Tmj = ρj

m ,m

Tmj11 Tmj22 j1 m1, j2 m2|j m ,

1

2

m1+)m2=m

или в других обозначениях

|j, m = ρj

m1

,m2

|j1 m1 |j2 m2 j1 m1, j2 m2|j m ,

(3.5.10)

kgk4

m1+)m2=m

j1 m1, j2 m2|jm = ( j1 m1| ji, mi|)|j1j2; jm

(3.5.11) kgk6

j1+j2

|j1 m1 |j2 m2 = j=|)j1−j2| |j1j2; j m j m|j1 m1, j2 m2 ,

(3.5.12) kgk5

)

) ,

-

)

2zi∂zi −

3

3

3

ziti∂ti − zi2∂zi

3

1

(3.5.13) cfteq1

i=1 ∂zi I = 0 ,

i=1

I = 0 ,

i=1

2

ti∂ti

I = 0 .

G =

C(j1, j2, j)

=

C(j1, j2, j) (t12j1 t22j2 t32j )

,

(z1 − z2)j1+j2−j (z1 − z3)j+j1−j2 (z2 − z3)j+j2−j1

I

i=1 ∂zi G = 0 ,

i=1 ,2ziji + zi2

∂zi -

G = 0 ,

i=1 (zi∂zi + ji) G = 0 (j3 := j) , (3.5.14) cfteq2

3

3

3

)

)

)

| ↑ := *

1

+ ,

| ↓ := *

0

+

(3.5.15) compos0

0

1

состояний

| ↓↓ =

*1+ *1+,

| ↑↑ = *0+ *0+ , | ↓↑ = *1+ *0+ , | ↑↓ = *0+ *1+

,

(3.5.16)

compos1

1

1

0

1

1

0

0

0

| ↓↑↓ = *

1

+ *

0

+ *

1

+ ,

| ↓↑↑ = *

1

+ *

0

+ *

0

+

, . . .

(3.5.17)

compos2

0

1

0

0

1

1

и т . д . Действие операторов компонент вектора спинаSx, Sy, Sz на композитные

состояния(3.5.16), (3.5.17)опре

деляются правилом коумножения для генераторов

алгебры Ли su(2)

∆Sα = Sα 1 + 1 Sα ,

(3.5.18)

comult

∆2Sα = ( ∆ 1)∆Sα = (1 ∆)∆Sα =

(3.5.19) comult1

Коумножение ∆ является гомоморфным отображением:

U(su(2)) → U(su(2))

U(su(2)), ( здесьU(su(2)) – универсальная обертывающая алгебра спинов–пони-

мается как ассоциативная алгебра всех полиномов от генераторов Sα с добавле-

неием единичного элемента).Это значит,что

∆(ab) = ∆ (a)∆(b) a, b U(su(2)) и

коммутационные соотношения для операторов ∆(Sα) являются теми же самыми

как и для генераторов Sα (это можно проверить для(3 .5.18)непосредственно).

Также это отображение удовлетворяет условию коассоциативности

(∆ 1)∆= (1 ∆)∆ ,

которое эквивалентно однозначности определения ∆n (см.,например, (3.5.19)).

Заметим,что правило(3.5.18)является ни чем иным как квантовомехани-

ческим правилом суммирования спинов.

Применим это правило к состояниям

(3.5.16), (3.5.17)Тогда.

собственные значения m оператора Sz на состояниях(3.5.16)

равны 1, 0, 0, −1, а на состояниях(3.5.17))равны

−1/2, 1/2, . . ., соответственно.

Если мы рассмотрим прямое произведение n 2-мерных векторов(3.5.15),то мы

получим пространство Vn представления SU(2) размерности 2n. Для выделения

неприводимых компонент из Vn мы будем пользоваться следующей процедурой.

Введем повышающие и понижающие операторы

S+ = Sx + iSy =

0 1

, S− = Sx

−

iSy =

0 0

,

0 0

1 0

[S+, S−] = 2 Sz , [Sz, S±] = ±S± .

Заметим,что

S+| ↑ = 0 ,

S+| ↓ = | ↑ ,

(3.5.20)

spsm

S−| ↑ = | ↓ , S−| ↓ = 0 .

Рассмотрим4-мерное пространство

V2 с базисом(3.5.16),вектора которого мо-

гут быть представлены в виде башни(в соответствии с их проекцией m на ось

z)

| ↑↑

m = 1

(3.5.21)

4dimir

| ↑↓ , | ↓↑

m = 0

| ↓↓

m = −1

и выберем в качестве вектора со" старшим весом" состояние

| ↑↑ с максимальной

проэкцией m = 1 (действительно,это состояние

зануляется првышающим опера-

тором ∆(S+) (см. (3.4.16))Затем. ,для того чтобы породить из этого вектора все

Т.о., 3базисных вектора

| ↑↑

m = 1,

(3.5.22) 3dimirr

(∆S−) · |↑↑ = | ↓↑ + | ↑↓

m = 0 ,

(∆S−)2 · |↑↑ = 2| ↓↓

m = −1

J2 =

1

,S+S− + S−S+- + Sz2 ,

(3.5.23) cassp1

2

∆(J2)| ↑↑ =

22∆(S+)∆(S−) + ∆ (Sz)∆(Sz)3

| ↑↑ = 2| ↑↑

1

Отметим,что оператор(3.5.23)имеет одно и тоже собственное значение

j(j +1) на

(| ↓↑ −| ↑↓ ) .

(3.5.24) 1dimirr