Group_theory_lecture

элементов группы G.Множество таких перестановок образует группу изоморфную

Отсюда следует,что отображение gi → pi является гомоморфизмом группы G на некоторую подгруппу группы Sn. А т . к . тождественная перестановкаpe является образом всего лишь единичного элемента e G, то данное отображение gi → pi является изоморфизмом. • Из этой теоремы следует,что у любой конечной группы G порядка n существует представление матрицами n × n. Действительно, любую перестановку n элементов можно представить в виде n × n матрицы.Т.о.перестановки pi имеют матричное представление, следовательно и элементы gi реализуются теми же

ванный элемент gi G, можно определить левое регулярное представление. Матричные представления, соответствующие регулярному представлению,стро-

ятся следующим образом.Рассмотрим конечную группу G c n элементами,которые расставим в некотором порядке в виде вектора (g1, g2, . . . , gn). Действие слева фиксированного элемента gk на этот вектор определяет n- мерное матричное

который следует из ассоциативности умножения в группе.

——————————————————————————

Доп.материал.

Симметрические полиномы.Пример конечной группы:группа вращений тетра-

эдра = A4. Если добавить отражения то группа инвариантности тетраэдра

= S4.

Удобно представлять различные разбиения в виде диаграмы Юнга,следои - вательно,различным неприводи мым????представлениям группы Sn соответ-

31

ствуют определенные диаграммы Юнга.Неприводимые представления.

————————————————————————–

2.4Лекция4.Теорема Эйлера и эйлерова характеристика. Правильные платоновские многогранники и их симметрии.Фуллерены.

Теорема Эйлера4 и эйлерова характеристика.

Отец предназначал своего сына к духовной карьере,но сам интересуясь математикой,преподавал ее и сыну,надеясь,что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия.По окончании домашнего обучения молодой.былЭ отправлен отцом в Базель для изучения философии,где однако находил время для занятия математикой.Профессор Иоанн Бернулли

намерений Петра Великого.Уезжая,молодые Бернулли обещали .Эизвестить его,если найдется и для него подходящее занятие в России . В 1727 г . Э . отправился в Петербург, где , по рекомендации академиков Германна и Даниила Бернулли,был назначен

адъюнктом академии по математике и немедленно деятельно и прилежно стал работать,представляя академии исследования по

32

Заметим,что резиновый спасательный круг(не разрезая его,а затем склеивая) невозможно деформировать в резиновый мяч.Более общее утверждение–никакой непрерывной деформацией сферу Sg1 с g1 ручками нельзя перевести в сферу Sg2

вешинами(vertices), E = 6 ребрами(edges)и F = 4 гранями(faces).Вычислим для тетраэдра величину V − E + F = 4 − 6 + 4 = 2.

Далее рассмотрим поверхность куба,которую также можно получить непрерывной деформацией сферы(если отметить на сфере8точек и разбить ее на6

кусков подобных квадратам) –соответственно имеем V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2. Поверхность куба можно”триангулировать”,проводя по одной диагонали на каждой квадратной грани куба.При этом мы снова получаем поверхность,подобную сфере(или как говорят математики–гомеотопную),но состоящую только из треугольных граней(как и в случае с тетраэдром).Такая поверхность называется

ности куба(сферы)величина V −E + F = 2 не меняется,т.к.каждая диагональ в квадратной грани увеличивает число граней F на1,но при этом число ребер E, в этой же грани,также увеличивается на1,т.е.при триангуляции для всей поверх-

ности куба мы имеем ∆(V − E + F ) = 0 (число вершин F не меняется).Т.о.,мы видим,что две разные триангуляции сф еры приводят к одному и тому же результату для V − E + F = 2. Более того покажем, что как бы мы не триангулировали

переехать в Берлин.Фридрих Великий,вполне оценивший гениальный талант и обширные познания великого геометра,д авал ему поручения чисто инженерного характера; к,в1749г.он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелем и Одером и указать необходимые исправления в недостатках этого водного пути;далее поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси.По поводу этого появилось немало статей по гидравлике,написанных Э.в разное время.Биографы Э.утверждают,что он очень желал

вернуться вPoccию.В1766г.он получил через посла в Бе рлине,князя Долгорук ова, приглашение имп.ЕкатериныIIвернуться

в академию наук на всяких условиях, каких бы Э. ни пожелал. Несмотря на уговоры остаться в Герма нии,делавшиеся со стороны

ный окулист,барон Вентцель,произвел операцию снятия катаракты,но Э.не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно.В1783г.Э.скончался от инсульта.Похоронен в Петербурге на Смоленском кладбище.

33

Рассмотрим теперь комплекс,который получается вырезанием параллелепипеда из куба(см.рис.),гомеотопный тор у ( форма спасательного круга или сфера с одной ручкой).

По сравнению с кубом мы увеличили число вершин на8,число ребер на20и число граней на10,т.е.изменение ∆ характеристики V − E + F равно

∆ = ∆ (V − E + F ) = ( ∆V − ∆E + ∆F ) = 8 − 20 + 10 = −2 .

Соответственно,для куба с одной дыркой мы получаем: V − E + F = 2 + ∆ = 2 − 2 = 0. Как видно из рисунка, данная фигура образуется склеиванием четырех объектов(параллелепипе дов),каждый из которых"подобен"кубу.Заметим,

34

что вырезание еще одного параллелепипеда(например,в одном из этих4-х па- раллелепипедов–в результате мы полу чаем фигуру типа кренделя или сферу с двумя ручками) изменяет число симпле ксов как и в предыдущем случае.Т.о., для триангулированной поверхности,под обной поверхности кренделя,мы имеем

V −E + F = 2 + 2∆ = −2. Продолжая эту процедуру, мы приходим к заключению, что если вырезать таким образом g дырок,то для V − E + F получим величину

V − E + F = 2 + g∆ = 2(1 − g) =: χ ,

которая называется характеристикой Эйлера для двумерной поверхности типа сферы с g ручками.Характеристика Эйлера–э то топологическая характеристика поверхности,т.к.она не зависит от спо соба триангуляции этой поверхности.

Мы видим,что если у двух пове рхностей характеристика χ совпадает,то они принадлежат одному и тому же топологическому типу,а если отличаются,то тип поверхностей–разный.Эта топологическая характеристика указывает на, то можно ли разные поверхности переводить друг в друга с помощью непрерывной деформации(если поверхности вложены3в-мерное пространство,то следует учитывать нюанс,связанный с различны ми топологическими типами вложений- ”заузленностью”) .

Правильные платоновские многогранники(тела)и их симметрии.

Определение. Платоновским многогранником (правильным выпуклым многогранником или регулярным простым полиэдром5) называется выпуклый многогранник,у которого все вершины имеют одинаковую валентность(число ребер, исходящих из вершины),а грани совп адают и являются правильными многоугольниками.

Утверждение. Имеется только5правильных выпуклых многогранников(платоновских многогранников):тетраэдр , куб , октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Док-во. Предположим,что такой многогранник S имеет V вершин, E ребер и F граней.Пусть m обозначает число ребер,сходящихся в одной вершине и n – число ребер для каждой грани.Заметим,что n ≥ 3 и m ≥ 3. Тогда , удвоенное полное число ребер для S можно выразить через число граней и вершин: m V = n F =

5Слово”полиэдр”происходит от двух греческих слов: poly –много,многое иhedra –основание, поверхность,сторона(дословный перевод–многогранник).

35

2 E. Кроме того из теоремы Эйлера мы имеем( т . к . S имеет топологию сферы) V − E + F = 2 так,что

2 m > n(m − 2) ≥ 3(m − 2) = 3m − 6 = m < 6 .

Т.о., m может равняться только 3, 4 или 5.

1.Пусть m = 3, тогда из (2.4.15) мы получаем: F (6 − n) = 12, т . еF. делит 12 и,откидывая невозможные случаи F = 1, 2, мы имеем F = 3, 4, 6, 12, которым соответствуют n = 2, 3, 4, 5 и возможные значения для (m, n, F ): (a) (3,3,4), (b) (3,4,6), (c) (3,5,12).

2.Пусть m = 4, тогда F (8 − 2n) = 16, т . еF. = 4, 8, 16, n = 2, 3, 7/2 и возможное значения для (m, n, F ): (d) (4,3,8).

3.Пусть m = 5, тогда F (10 −3n) = 20, т . еF. = 4, 5, 10, 20, которым соответствуют n = 5/3, 2, 8/3, 3 и,т.к. n - целое и больше2, то возможные значения для (m, n, F ):

(e) (5,3,20).

Т.о.,мы получили только пять возможностей для (m, n, F ):

(a)(3,3,4) –тетраэдр( V = 4, E = 6, F = 4),

(b)(3,4,6) –куб( V = 8, E = 12, F = 6),

(c)(3,5,12) –додекаэдр( V = 20, E = 30, F = 12),

(d)(4,3,8) –октаэдр( V = 6, E = 12, F = 8),

(e)(5,3,20) –икосаэдр, ( V = 12, E = 30, F = 20)

36

граней октаэдра дают вершины куба.Такая же дуальность наблюдается между додекаэдром и икосаэдром.Эта дуальность(дуальность между соответствующими графами на сфере)проявляется в виде замены числа вершин на число граней и наоборот( число ребер не меняется):

Легко понять(в том числе и из этой диаграммы),что тетраэдр является самодуальным многогранником.

Порядок групп T , W , P можно найти,рассмотрев все оси инвариантных вращений тетраэдра,куба и додекаэдра.Например,для тетраэдра мы имеем четыре оси,проходящие через вершины и противоположные грани(на каждую приходит-

альному вращению;итого 3).С учетом тривиального преобразования мы имеем

|T | = 1 + 8 + 3 = 12.

Аналогично,для икосаэдра(число ве ршин12,число ребер30и число граней 20)мы имеем оси симметрий: 1.) 6осей5-ого порядка,проходящие через про-

37

тивоположные вершины; 2.) 10осей3-его порядка,проходящие через середины противоположных граней; 3.) 15осей2-ого порядка,проходящие через середины противоположных ребер.Т.о.,число нет ривиальных вращений симметрии икосаэдра равно 6 × 4 + 10 × 2 + 15 × 1 = 59. С учетом тождественного преобразования

связанная с полным отражением икосаэдра относительно его центра симметрии. Группа S5, как легко понять, не имеет инвариантных подгрупп2ого порядка.

С учетом групп Cn, Dn, рассмотренных в предыдущих лекциях, мы получаем полный список конечных групп собственных вращений в3- х мерном пространстве:

где Cn циклическая группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы,кратные 360◦/n; Dn группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы,кратные 360◦/n плюс повороты на угол π вокруг осей,лежащих в плоскости перпендикулярной l (эти повороты эквивалентны диэдральным отражениям в плоскости); T, W, P - группы собственных вращений тетраэдра,куба(октаэдра),додекаэдра(икосаэдра),соответственно.

Фуллерены.Фуллерен C60 – усеченный икосаэдр.

Для икосаэдра мы имеем (m, n, F ) = (5, 3, 20), т . е . число вершинV = nF/m = 3 · 20/5 = 12. Отсекая вершины икосаэдра, мы получаем12 пятиугольных граней, при этом20треугольных граней икосаэ дра превращаются 20в шестиугольных граней.Т.о.,мы получаем фигуру типа поверхности футбольного мяча,у которой 12пятиугольников окружены20-ю шестиу гольниками.Число трехвалентных вершин(число атомов углерода)у данной фигуры равно60 (т.к.,отсекая вершины в икосаэдре, мы каждую из его12 вершин заменяем на5 вершин) – такую моле-

кулу(существующую в природе)обозначают C60 и называют фуллереном. Моле -

38

кулы фуллерена C60 могут кристаллизоваться,занимая узлы кубической решетки.В свою очередь межузельные пространства могут занимать атомы металлов (металло-фуллерены),при этом вещество может становиться высокотемператур-

ным сверхпроводником.

Углерод C четырех-валентен,но две из этих4-х валентностей иногда образуют единую связь

C;

;;

в этом случае почти все молекулы, построенные из атомов углерода( кроме алмаза),должны иметь вершины3с-мя ребрами.Плоская решетка такого типа–это

шестиугольников может быть произвольно,а число пятиугольников,семиугольников и т.д.удовлетворяют соотношению(2.4.16)

)∞

(6 − k) nk = 12 .

k=3

Т.е.,если молекула имеет только пятиугольные,ш стиугольные и семиугольные ячейки,то”основное”с остояние соответствует n5 = 12 (фуллерен),а еще один пятиугольник может возникнуть только в паре с семиугольником и.дт.

Более устойчивые углеродные сферические системы( g = 0),образуются в случае когда nk = 0 для k > 6 (связь атомов углерода более слабая если молекула

39

углерода имеет ячейки с k > 6).В этом случае мы имеем соотношение

3n3 + 2n4 + n5 = 12 .

Это соотношение показывает какие ячейки( сколько)возникают при запаивании нанотрубки,представляющей собой свернутую в длинный цилиндр гексагональную решетку атомов углерода.

Имеется3-х мерное обобщение только что рассмотренной картины.Пусть мы имеем3-х мерную фигуру,разрезанную на3-х мерные грани так,что мы имеем комплекс с V вершинами, E ребрами, F 2-мерными гранями и P 3-мерными гранями(многогранниками).Топологической ха рактеристикой такой фигуры является величина χ = V − E + F − P . Пусть все вершины в таком комплексе четырехвалентны(минимальная нетривиальна я валентность вершин для3мерных фигур).Тогда очевидно,что 4V = 2E. Пусть в этой3- х мерной решетке имеется

n4 - тетраэдров, n5 - многогранников с5- ю гранями, n6 - 6- гранников, и т . д . То - гда P = 'k=4 nk, 2F = 'k=4 k nk. Заметим , что 2- мерная валентность каждой вершины в такой решетке равна6,т.к.в каждой вершине сходятся6граней.Рас-

сматривая величину χ = V − E + F − P для4-мерного симплекса,мы находим,

что для3-мерной сферы χ(S3) = V − E + F − P = 0. Т . о ., для любой фигуры с топологией S3 мы имеем тождество

))

0 = V − E + F − P = V − 2V + (k/2 − 1)nk = (k/2 − 1)nk − V .

k=4 k=4

состоящей из3-х валентных атомов углерода.Написать такое общее соотношение для молекулы,имеющей форму сферы с g ручками.

2.5Лекция5.Кристаллографические группы.Квазикристаллы.Мозаики Пенроуза.

Кристаллографические группы.

40