Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

158

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Вещественные числа hi (с условием 'i hi = 0) и xij , yij (i < j) являются параметрами группы SU(N). Количество этих параметров очевидно равно сумме числа N(N − 1) недиагональных (xij , ykl) и числа (N − 1) независимых диагональных элементов hi (i = 1, . . . , N − 1) матрицы A. Т . о ., вещественная размерность группы SU(N) равна N2 − N + N − 1 = N2 − 1. Экспоненциальное представление для унитарной матрицы из SU(N) имеет вид

U = exp	i	N	h˜iHi + i	)	(xij Sij + yijTij) .
	)			)
		i=1		i<j

Удобно переписать элемент(3.6.2)алгебры Ли			su(N)	группы SU(N) в другом
базисе
N−1							(3.6.6)
A = i=1 hiHi + i<j ,(zij ) Eij + zij Fij- ,							(3.6.6)
)	)
где мы ввели комплексные параметры zij = xij + iyij,					а (N2 − 1) образующих
алгебры Ли выбраны в виде
= e (i < j) , H			= e	1	N	e ,	(3.6.7)
= e (i < j) , H			= e		N	e ,
Eij = eij , Fij N	ji	i	ii − N		'j=1	jj
'i=1	Hi = 0 , Tr(Hi) = 0 ,
т.е. Hi - диагональные бесследовые матрицы, а			Eij = eij и Fij = eji (i < j) -
матричные единицы над и под главной диагональю,соответственно.

Важно отметить,что координаты в разложении(3.6.6)произвольного элемен-

та su(N) в новом базисе уже не являются вещественными числами. Более того

произвольный комплексный вектор(с комплексными координатами			{ui, wij, zij })
в пространстве с базисом Hi, Eij, Fij имеет вид
N−1	)	- ,
)	)
Z = i=1	uiHi + i<j ,wijEij + zij Fij		(3.6.8)

и описывает любую комплексную (N ×N) матрицу Z, удовлетворяющую Tr(Z) = 0. Очевидно, что коммутатор двух таких матриц [Z, Z′] = Z′′ снова является бесследовой комплексной матрицей.Т.о.,бесследовые комплексные матрицы Z образуют комплексную алгебру Ли,которая обозначается sl(N, C) и является алгеброй Ли для группы SL(N, C) (группа комплексных (N × N) матриц с детерминантом равным1;см. (3.6.1))Если. параметр ы линейного пространства(3.6.8)ограничены условиями {ui, wij, zij } R, или ui R, wij = (zij ) , то соответствующие матрицы Z описывают две разные вещественные формы алгебры sl(N, C), кото - рые являются двумя разными вещественными алгебрами: Ли sl(N, R) или su(N), соответственно.

131

alliN1

hefN

alliN2

Используя правило произведения матричных единиц eij (3.6.5)мы получаем коммутационные соотношения

[eij , ekm] = δjk eim − δim ejk ,

(все матричные единицы eij (1 ≤ i, j ≤ N) образуют базис алгебры Ли gl(N)) из которых следуют коммутационные соотношения для образующих алгебры Ли

(3.6.7)

[Hi, Hj] = 0 , [Hi, Ekj] = δikEij − δij Eki , [Hi, Fkj] = δijFki − δikFij ,

[Eij , Ekm] = δjkEim − δimEkj ,	[Fij , Fkm] = δimFkj − δkj Fim ,	(3.6.9) glNN
[Eij , Fkm] = δjmEik − δikEmj (j − i > m − k) ,
[Eij , Fkm] = δjmFik − δikFmj (j − i < m − k) ,
[Eij , Fkm] = δjmδik(Hi − Hj) (j − i = m − k) .
Т.е.мы выделили базис в алгебре Ли	sl(N) такой,что генераторы	Hi образу-

ют коммутирующую подалгебру, совокупности генераторов {Hi, Eij} и {Hi, Fij } определяют подалгебры Ли в sl(N). Данный базиc {Hi, Eij , Fij} (i < j) в алгебре Ли sl(N) называется базисом Картана. Коммутативная подалгебра Ли, образованная элементами Hi (i = 1, . . . , N − 1), называется подалгеброй Картана. Образую-

щие Hi подалгебры Картана называются элементами Карт,анаобразующие	Eij
и Fij называются положительными и отрицательными корнями,соответственно.

Подалгебры Ли образованные только элементами Eij или только Fij называются положительной или отрицательной подалгеброй Бореля в алгебре sl(N), соответственно.

2.Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли.

Для начала обсудим конструкцию Йордана-Швингера для алгебр sl(N) и su(N). Введем алгебру N- мерного осциллятора, которая задается 2N образующими ai и a/i (i = 1, . . . , N), удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям

	[ai, aj ] = δij ,			[ai, aj ] = 0 ,			[ai, aj ] = 0 .	(3.6.10)	osc1
Тогда образующие	Hi, Eij , Fij		алгебры Ли			sl(N) можно реализовать в виде
Тогда образующие	/		алгебры Ли				/ /
Hi = ai ai − N )j		aj aj ,	Eij	= ai aj	(i > j) ,		Fij = aj ai (i > j) .	(3.6.11)	osc2
1
/		/		/			/
Действительно,легко проверить,что опе					раторы(3.6.11)удовлетворяют коммута-
ционным соотношениям(3.6.9).Констру					кция(3.6.11),в которой образующие ал-

132

гебры Ли sl(N) представляются в виде квадратичных комбинаций осцилляторов, называется конструкцией Йордана-Швингера.

В качестве примера рассмотрим конструкцию(3.6.11) для алгебры Ли

sl(2).

Алгебру осцилляторов(3.6.10)ре ализуем следующим образом

(a1, a2) = (s, t) , (a/1, a/2) = (∂s, ∂t) .

Тогда формулы(3.6.11)дают уже изв

естную нам реализацию(3.4.22).

Пусть в(3.6.10) ai = ai†, тогда образующие для алгебры Ли su(N) в конструк-

Швингера(в силу их эрмитовости(3.6.4))имеют вид

ции Йордана-

'j aj aj† ,

Hi = ai ai† −

(3.6.12)

osc3

Sij = 21 (ai aj† + aj ai†) (i > j) , Tij =

(ai aj† − aj ai†) (i > j) .

Антисимметричные операторы

Lij =

(ai a/j

− aj

a/i) ,

(3.6.13)

algso1

образуют подалгебру Ли в алгебре с генераторами(3.6.11),которая как нетрудно

проверить является алгеброй Ли для ортогональной группы SO(N). С другой

стороны все квадратичные по осцилляторам операторы

Aij = ai aj , Aij′

= ai a/j , Aij′′ = a/i a/j

( i, j = 1, . . . , N) ,

число которых равно

N2 + N(N + 1) = 2N2 + N =

2N(2N + 1)

также образуют алгебру Ли.Эта алгебра Ли включает алгебру

sl(N)

(3.6.11)

как подалгебру и образует алгебру Ли для группы Sp(2N). Действие операторов

ij на

- мерный вектор

сохраняет симплектиче-

, A′

, A′′

(a , . . . , a , a , . . . , a )

скую структуру(3.6.10).

Теперь рассмотрим псевдоунитарную группу SU(p, q), т . е . группу всех унимо-

дулярных,линейных преобразований комплексного

p + q- мерного пространства,

сохраняющих квадратичную форму(ср.с(2.6.19))

p+q

)

xi xi −

)

x|x p,q =

xp+kxp+k =

xmgmrxr ,

i=1

m,r=1

где мы использовали метрику gmr = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1). Тогда операторы

9:p

; 8

9:q

;

(3.6.14)

gsupq

Amn = xm∂n + xn∂m ,

??????

133

генерируют вариации δxm = Amr xr такие,что δ x|x p,q = 0. Т . о ., операторы(3.6.14) обраэуют алгебру Ли группы SU(p, q).

3.Алгебра Ли группы SU(3). Матрицы ГеллМанна.

Рассмотрим случай группы SU(3). Выпишем явный вид8 матриц генераторов

Hi, Sij, Tij	для алгебры Ли группы SU(3). Для образующих Hi																и их независимых
линейных комбинаций λ3 = H1 − H2, λ8 =									√								√		H3 мы имеем
линейных комбинаций λ3 = H1 − H2, λ8 =											3	(H1 + H2) = −						3	H3 мы имеем
матричные представления									0				, H3 = −0							0
H1	= 0	3	0 , H2 = −0					3	0				, H3 = −0				3			0	,
	2	0	0				1	0	0							1	0			0
	3	−0		3			3			3						3	−0			3
	0	−0		3			0 0			3						0	−0			3
		1	−					2	−								1
				1						1										2
			λ3	= 0 1 0			, λ8 =		1 0 1 0 ,
				1	0	0			√3				1	0	0
				0	−0 0				√3				0 0 2
															−

а для недиагональных образующих Sij Tij матричные представления имеют вид

S12	=	1		0	0 =: λ1			, S13	=	0 0 0 =: λ4				, S23	=	0 0 1				=: λ6 ,
			0	1	0					0	0	1					0	0	0
			0	0	0					1 0 0							0 1 0

T12	=	i		−0		0	=: λ2	, T13	=	0	0	−0	=: λ5	, T23	=	0		0	i	=: λ7 .
			0		i	0				0	0	i					0	0	0
			0 0			0				i	0	0					0	i	−0

Пользуясь этими представлениями мы получаем коммутационные соотношения для образующих алгебры Ли su(3):

[S12, S13] = i T23 , [S12, S23] = i T13 , [S13, S23] = i T12 ,
[T12, T13] = i T23 , [T12, T23] = −i T13 , [T13, T23] = i T12 ,
[S12, T12] = 2i (H1 − H2) , [S12, T13] = −i S23 , [S12, T23] = −i S13 ,		(3.6.15)	commst
[S13, T13] = 2i (H1 − H3) , [S13, T12] = −i S23 , [S13, T23] = i S12 ,
[S23, T23] = 2i (H2 − H3) , [S23, T12] = i S13 , [S23, T13] = i S12 ,
[H1, S12] = −iT12, [H1, S13] = −iT13, [H1, T12] = −iS12, [H1, T13] = −iS13,
[H3, S13] = , [H3, S23] = , [H3, T13] = , [H3, T23] = ,
(оставшиеся коммутаторы равны нулю).Матрицы λi называются матрицами Гелл-
Манна.Их нормировка выбрана так,чтоTr	(λiλj) = 2δij и они подчиняются ком-
мутационным соотношениям
[λi, λj ] = 2 i fijk λk ,
[λi, λj]+ ≡ λiλj + λjλi	= 34 δij + 2 dijk λk	(3.6.16)	commgel
λi λj = 2 δij + i fijk λk + dijk λk ,
3

134

n,m λ

fijk =	1	Tr ([λi, λj ]λk) ,	dijk = 1 Tr ([λi, λj ]+λk) ,

	4i		4	(3.6.17)

dijk + i fijk = 12 Tr (λi λj λk) ,

где fijk- структурные константы алгебры Ли su(3), которые легко восстанавливаются из(3.6.15).Константы fijk – полностью антисимметричны по перестановкам индексов i, j, k, а константы dijk – полностью симметричны по перестановкам -ин дексов i, j, k, что следует из(3.6.17).

3.Конечномерные представления групп SU(N). Диаграммы Юнга.

Конечномерные представления группы SU(N) можно строить занимаясь прямым произведением определяющих представлений.При разложении этих произведений в прямую сумму по неприводимым представлениям мы получаем неприво-

димые представления,которые классиф

ицируются с помощью диаграмм Юнга λ

(2.3.11)с

рядами по

λi (i = 1, 2, . . . , k)

клеток в

каждом ряду(

λ1

≥

λ2

≥

. . .

≥

λk).

Число клеток в диаграмме обозначается как

λi. Действительно, каждой

диаграмме Юнга λ, с числом клеток |λ|, сопоставляется тензор ранга |λ|, опреде-

ленным образом симметризованный. Т.е.диаграмма с одной клеткой

соответ-

{ψ1, . . . ,ψ N } в пространстве VN определяющего представления

ствует вектору ψ =

группы SU(N):

ψi → Uij ψj

U SU(N) .

Двум возможным диаграммам с двумя клетками

сопоставляются

ψijs

и антисимметричный ψija тен-

,соотве тственно,симметричный

зоры второго ранга:

(3.6.18)

ψijs =

(ψij + ψij ) , ψija

(ψij − ψij ) ,

преобразующиеся по правилу

ψijs,a → UikUjmψkms,a U SU(N) ,

symfd

simasim

и т . д . Размерность представления группыSU(N), которое соответствует диаграмме λ (число независимых компонент определенным образом симметризованного тензора ранга |λ|),определяется формулой Вейля(или формулой крюков)

dim(λ) = (N − m − n) , (3.6.19) weylhk

hn,m

135

где произведение берется по всем клеткам диаграммы с координатами (n, m) и hn,m – длина крюка, соответствующего клетке (n, m) (т.е.число клеток справа и снизу от клетки (n, m), включая и саму клетку).

4. SU(3) симметрия.Кварки.Массовые формулы.

В физике элементарных частиц, при рассмотрении унитарной симметрии SU(3), координатам вектора ψi = (ψ1, ψ2, ψ3) в пространстве определяющего представления SU(3) сопоставляются кварки (u, d, s). Т . е . кварки преобразуются по представ-

лению .Антикваркам	¯
	(¯u, d, s¯) сопоставляются координаты антисимметричного

тензора ψ	= E		ψij (3.6.18)и они преобразуются по представлению		. Мезоны
¯k		kij	a

– это связанные состояния кварков и антикварков и их поля преобразуются по
неприводимым представлениям,возникаю				щим при прямом произведении кварко-
вого и антикваркового представлений				2ψj ψ¯k − 3δjk(ψi ψ¯i)3 ,
			ψj ψ¯k = 3δjk(ψi ψ¯i) +	2ψj ψ¯k − 3δjk(ψi ψ¯i)3 ,	(3.6.20) meson
			1	1

или в терминах диаграмм Юнга:

¯i

)

где в правой части первая диаграмма соответствует мезонному синглету (ψi ψ

(размерность этого представления очевидно = 1),а вторая диаграмма соответ-

ствует мезонному октету Mjk =

,ψj ψ¯k − 31 δjk(ψi ψ¯i)-

(размерность этого представ-

ления = 8, т . к . размерность всего представления в левой части равна3 × 3 = 9).

Бесследовая матрица Mjk сопоставляется октету псевдоскалярных мезонов следу-

ющим образом

√π

+ √η

0π+

K+

Mjk =

(3.6.21) meson1

π−

√π 2 + √η6

−

2η

K−

K¯

√6

−

Квадратичный по элементам матрицы(3.6.21) (по мезонным полям) SU(3)-инвариант имеет вид MjkMkj и,соответственно,инвариантный массовый член в мезонном лагранжиане был бы m2M MjkMkj . Т . к . симметрия междуu, d кварками,с одной стороны,и s кварком,с другой стороны,наруше на,то массовый член,учитыва-

136

ющий это нарушение должен иметь вид

δL

mM2

(3.6.22)

meson2

Mj Mk + δM (Mj

M3 ) .

Подставляя сюда матрицу(3.6.21)мы получаем

M ,

δL 2

−

2−

−

mM2

¯ 0

2(π

π + K

K + K

) + η

+ π

+ δ

K + K

(π+π− + π−π+) +

π02+

) ,K+K− + K−K+ + K¯ 0K0

- + (

δM

+ K0K¯ 0

4δM

) η2 .

(3.6.23)

meson2

Т.о.,мы имеем следующие значения для масс мезонов

4δ2

mπ

= mM

, mK = mM

+ δM , mη

= mM +

откуда следует соотношение 3mη2 + mπ2

= 4mK2 , которое выполняется с хорошей

точностью( mπ = 135 − 140Mev, mK = 494 − 498Mev, mη = 547, 5Mev).

Барионы–это связанные состояния тр

ех кварков и их поля преобразуются

по неприводимым представлениям,возникающим при прямом произведении трех

кварковых представлений

= (

)

где в правой части первая диаграмма соответствует барионному синглету,вторая

диаграмма соответствует двум барионным октетам(размерность этих представ-

лений = 8),а последняя диаграмма соответствует барионному декуплету(размер-

ность представления = 10, т . к . в левой части размерность представления равна

33 = 27 и мы имеем 27 − 1 − 2 × 8 = 10).Все эти размерности также легко полу-

чить воспользовавшись формулой(3.6.19).

—————————————————–

Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебры

su(p, q) через квад-

ратичные комбинации осцилляторов(пон

адобится ниже).Представления

SU(N).

Диаграммы Юнга.Размерности неприводим

ых представлений.Базис Гельфанда-

Цейтлина.Кварки.Массовые формулы.

Упражнения.

1.Доказать,что операторы

Ln = zn+1

∂

(z C, n- целое число) образуют алгебру

∂z

Лиcопределяющими соотношениями

[Ln, Lm] = (m − n)Ln+m. Какая группа Ли

соответствует этой алгебре?

137

3.7Лекция15.Метод индуцированных представлений.Унитарные представления некомпактных групп SL(N, C).

1.Индуцированные представления.

Изложим эту концепцию,следуя лекциям[10].Пусть задана группа G и в ней подгруппа K. Пусть задано некоторое представление ρ: k → ρ(k) (k K) подгруппы K в пространстве L. Рассмотрим набор F вектор-функций f(g) на группе G со значениями в L, удовлетворяющий следующим условиям:

1.F – линейное пространство по отношению к сложению функций и умножинию их на числа;

2.f (k g) = ρ(k) f (g) ( k K, g G), т . е . пространствоF является пространством представления ρ для подгруппы K;

3.пространство F инвариантно по отношению к правым сдвигам,т.е.если		f (g)
F , то f (g g0) F .
Зададим оператор Tg0 в F формулой
	Tg0 f(g) = f (g g0) , g0 G	(3.7.1) indrep
Тогда соответствие g → Tg есть представление.Действительно
Tg1 Tg2 f (g) = Tg1 f (g g2) = f (g g1 g2) = Tg1 g2 f(g) ,
т.к.в силу3.)новая функция	f ′(g) = f (g g2) F и,следовательно,

Tg1 f ′(g) = f ′(g g1) = f (g g1 g2) .

Определенное формулой(3.7.1)представление g → Tg группы G называется индуцированным представлением при помощи представления k → ρ(k) подгруппы

2.Применение метода индуцированных представлений к группе SL(N, C).

В качестве группы G (из предыдущего раздела1.)выберем группу G = SL(N, C) и рассмотрим ее подгруппу K, состоящую и всех элементов k SL(N, C) вида

k11

0 k = 0

...

k12	k13 . . .
k22	k23 . . .
0	k33 . . .
.	. .	.
.	.		.
.	.
0	0 . . .

k1N k2N

k3.N

kNN

138

В качестве представления ρ подгруппы K выберем одномерное представление, задаваемое непрерывной комплекснозначной функцией α(k) на K так,что

α(I) = 1 ,		(3.7.2)	naim1
α(k1k2) = α(k1)α(k2) .		(3.7.3)	naim2
Тогда условие2из предыдущего .п2перепишется в виде
f (k g) = α(k) f (g) .		(3.7.4)	naim3
Т.о.,в рассматриваемом случае пространство F состоит из числовых(т.к. L –
одномерно)комплекснозначных функций	f (g), удовлетворяющим условиям1.),
2.)и3.)из предыдущего .п2.
Пользуясь условиями(3.7.2)и(3.7.3),нетрудно показать,что		α(k) зависит
только от диагональных элементов kii (i = 1, . . . , N), один из которых можно
исключить согласно условию det(k) = 1. Действительно, т . к . представлениеρ од-
номерно,то α(k)α(k1) = α(k1)α(k) и,следовательно, α(k1−1kk1) = α(k) ( k1 K).
Т.о., α(k) является функцией классов сопряженности группы K и зависит только
от спектра верхнетреугольной матрицы k, т . е . от ее диагональных элементов.
Далее,в силу соотношения(3.7.3)мы имеем
α(k11, k22, . . . , kNN ) = α(k11, 1, . . . , 1) · α(1, k22, 1, . . . , 1) · · ·α(1, . . . , 1, kNN ) ,
т.е. α(k11, . . . , kNN ) является мультипликативной функцией своих аргументов и
потому
α(k11, . . . , kNN ) = \|k22\|m2+σ2 k22−m2 . . . \|kNN \|mN +σN kN−mNN =		(3.7.5)	naim4
= \|k22\|σ2 ···\|kNN \|σN exp	N
	*−i j=2 mj arg(kjj)+ .
	'
где мы учли равенство k11 = (k22 · · ·kNN )−1 (в силу условия det(k) = 1) и , как мы
увидим ниже, mj – целые , а σj – комплексные числа.
Оказывается,что описанная конст рукция представления для подгруппы K
SL(N, C) приводит к неприводимым бесконечномерным индуцированным пред-
ставлениям(3.7.1)группы G = SL(N, C). Более того, данная конструкция инду-
цированных представлений является по существу естественным перенесением на
случай бесконечномерных представлений метода старших весов Картана-Вейля в
теории конечномерных представлений.Де	йствительно,для вектора старшего веса

139

v0 данного конечномерного представления Tg′ группы SL(N, C) и элемента k K мы имеем

Tkv0 = α(k) v0 ,

где α(k) удовлетворяет условиям(3.7.2), (3.7.3)и определяет старший вес представления Tg′.

3.Треугольное разложение элементов группы SL(N, C).

Обозначим через Z совокупность всех нижних треугольных матриц z с единицами

на диагонали	z21	1	0	. . .		0
	z21	1	0	. . .		0
	1	0	0	. . .		0	.
z =	z31	z32	1	. . . 0			.
	. .		.	.	.
	.. ..		..		. . ..
			zN3	. . . 1
	zN1 zN2		zN3	. . . 1

Нетрудно убедиться в том,что Z – подгруппа в SL(N, C). Имеет место следующее утверждение:

Теорема. Почти любую матрицу g из SL(N, C) можно однозначно представить в виде произведения двух треугольных матриц

g = k z , k K , z Z .

(3.7.6) naim5

Смысл слова"почти"мы уточним ниже.

Доказательство. Рассмотрим систему N(N + 1)/2 линейных уравнений k′ g Z:

N
q)	(3.7.7) naim6
kpq′ gqr = δpr (p ≤ r) ,	(3.7.7) naim6
=p

относительно N(N+1)/2 элементов матрицы k′ K, где g фиксированный элемент группы SL(N, C). Эти уравнения можно записать явно как


(kpp′ , kpp′	+1, . . . , kpN′	)	p	p + 1		. . .	N	= (1, 0, . . . , 0) ,	(3.7.8) naim7
(kpp′ , kpp′	+1, . . . , kpN′	)	p	p + 1		. . .	N	= (1, 0, . . . , 0) ,	(3.7.8) naim7
			p	p + 1		. . .	N
где символом		* q1		q2	. . . qm		+
		* q1		q2	. . . qm		+
			p1	p2 . . .		pm

p1 < p2 < · · · < pm , q1 < q2 < · · · < qm

обозначен минор составленный из элементов матрицы g, которые стоят на пересечении строк с номерами (p1, p2, . . . , pm) и столбцов с номерами (q1, q2, . . . , qm). Уравнения(3.7.8)могут быть решены,если соответствующие определители

det	p	p + 1 . . .	N	̸= 0 (p = 1, . . . , N) .
det	p	p + 1 . . .	N	̸= 0 (p = 1, . . . , N) .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20154 Мб25Gapochka_I_K_-_Ya_chitayu_po-russki_1999.pdf
#
01.04.202533 Кб0Gibridnoe_shifrovanie.docx
#
03.06.20155 Мб20Globalnie_gorizonti_RUS.pdf
#
01.07.2025709 Кб3gonki_na_treke.doc
#
27.03.20166 Мб320GRE_Math_Bible_eBook.pdf
#
03.06.20152 Мб158Group_theory_lecture.pdf
#
03.06.2015614 Кб22Groups-1.pdf
#
03.06.2015528 Кб21Groups-2.pdf
#
03.06.2015709 Кб26Groups-3.pdf
#
03.06.2015914 Кб62Groups-4.pdf
#
03.06.2015628 Кб45Groups-5.pdf