Group_theory_lecture

ΓmΓn + ΓnΓn = 2δmn

(3.10.1) cl1

Т.о.полная размерность

D-мерной алгебры Клиффорда ΓD равна

D

−

k)

k!(D

k)!

=0

Это значит,что если бы мы строили матричное представление для

ClD, в котором

все базисные элементы(3.

10.2)были бы независимы,т

о такое минимальное мат-

ричное представление реализовывалось бы 2D/2-мерными матрицами 2D/2 ×2D/2 =

2ν × 2ν . Раз представление такой размерности минимально,то оно автоматически

будет неприводимым.

Построим явно это 2D/2-мерное неприводимое представление алгебры(3.10.1).

Для этого разобьем все множество образующих {Γm} на2группы,скажем на

группы с четными и нечетными индексами, рассмотрим следующий набор опе-

раторов {zα, zα} (α = 1, . . . , D/2 = ν)

1

(Γ2α−1 + i Γ2α) ,

1

(Γ2α−1

− i Γ2α) .

(3.10.4) closc

zα =

zα =

мионных осцилляторов

[zα, zβ ]+ = 0 ,

[zα, zβ]+ = 0 ( α,β ) , [zα, zβ]+ = δαβ .

(3.10.5) cl3

рождения.Пусть |0 – вакуумный вектор, т . е .

zα |0 = 0 ( α = 1, . . . ,ν ) ,

ными спинорами.

В случае ν = 1 представление для(3.10.5)двум

ерно,т.к.в качестве базисных

элементов мы имеем v1 = |0 , v2 = z |0 . Далее

zv1 = 0 , zv2 = v1 , zv1 = v2 , zv2 = 0 ,

т.е.в базисе v1, v2 мы имеем матричное представление:

zvi = vkρki(z) , zvi = vkρki(z)

ρ(z) =

0 1

, ρ(z) =

0 0

,

0 0

1 0

(в дальнейшем для простоты мы не будем писать знак гомоморфизма ρ).Соот-

ветствующие двумерные гамма-матрицы имеют вид

Γ1 = σ1 , Γ2 = σ2 , Γ3 = (−i)Γ1Γ2 = σ3 ,

(3.10.7) cld2

где Γ3 = σ3 является двумерным аналогом γ5-матрицы,а3матрицы Паули

(σ1, σ2, σ3)

являются3-х мерными гамма-матрицами.

0

1

(3.10.8) 4

zα = σ3

σ3

· · ·

σ3

0

0

1

·

ν·

1 ,

α−1

−·α

8

9:

;

8

9:

;

1 0

α−1

−·α

8

9:

;

8

9:

;

1

0

1

0

где

σ3 = *0

−1+, 1 = *0

1+. Данное представление,

как и ожидалось,

является

2D/2-мерным.Пользуясь условием(3.10.4)

, гаммаматрицы могут быть выражены

Γ2α−1 = zα + zα = σ3 σ3

· · · σ3

*1 0+

1 · · · 1 ,

(3.10.10)

cl7

0

1

8

9:

;

8

9:

;

α

1

ν−α

−

*i

−0

+

1 ··· 1 .

Γ2α = i(zα − zα) = σ3 σ3

· · · σ3

(3.10.11)

cl8

0

i

8

9:

;

ν

−

ν

α

1

ν−α

неприводимо9: ;все;

другие

2 -мерные представления

получаются из него преобразованиями эквивалентности(включая всевозможные

Γ-матрицы уни-

тарны Γ† Γn

= 1, т . кΓ.†

= Γn.

Кроме того мы имеем Γ

−

= ΓT

= Γ2α

1,

n

n

1

−

1

−

−

2α

2α

2α

2α

2α, что можно записать единым образом

Γ

= ΓT =

Γ

Аналог4-х мерной матрицы Γ5 (3.9.38)имеет вид (ν = D/2)

ΓD+1

= (−i)ν Γ1 · · ·ΓD = (−i)ν (Γ1Γ2)(Γ3Γ4) · · ·(ΓD−1ΓD) = 5α=1((−i)Γ2α−1Γ2α) =

ν

= (σ3 1 · · ·) (1 σ3 1 · · ·) · · ·(1 ··· σ3) = σ3 σ3 · · · σ3 ,

(3.10.12)

g5

ΓD2 +1 = 1 , [ΓD+1, Γm]+ = 0 ( m = 1, . . . , D) .

Рассмотрим теперь алгебру Клиффорда (3.10.1)в нечетномерном случае D =

2ν +1. В этом случае мы можем предъявить нетривиальный центральный элемент

/

в C

2ν+1:

Матрицы C, C′ связаны с гамма-матрицами(3.10.

10), (3.10.11)следующим образом

Γ2

Γ4

· · ·

Γ2ν =

(i)k

σ1 σ2 σ1 . . . σ2 = (i)k C′ , ν = 2k;

(i)

σ2 σ1

σ2 . . .

σ2 = (i) C , ν = 2k + 1;

k

k

X → X′ = A X A−1 = A X A† X′ = X′†

(3.10.20) prspin

X′ → AXA−1 ,

(3.10.36)

dmersp

c матрицами(3.10.31),где

матрицы(3.10.31)принадлежат группе,которая обозначается

Spin(D − 1, 1) и

которая(в силу преобразования(3.10.36))дважды накрывает группу

SO(D−1, 1).

Т.к.алгебры Ли(3.8.15)и(3.10.33)совпадают,то группы

SO(D −1, 1) и Spin(D −

1, 1) локально изоморфны.

Пользуясь соотношением(3.10.35)мы

определим дираковское сопряжение

ψ

для многомерных спиноров.Инфинитези

мальные реобразования спиноров ψ при

имеют вид

1

δψ =

ωmn γmn ψ , γ

mn = (γmγn − γnγm)/4 ,

(3.10.37)

20

2

γmn† = −γ0 γmn γ0 ,

(3.10.38)

20a

что соответствует преобразованиям γ-матриц

δγk = −[ωmn γmn, γk] = ωkm γm .

(3.10.39)

20b

(3.10.40) 21

δψ

= ψ(−ωmn Lmn)

((i∂m − eAm)γm − M) ψ = 0 ,

(3.11.1) 15

ψC = B−1ψ

(3.11.2)

positr

(эта формула,как нетрудно увидеть,эквивалентна(3.9.41) cточностью до заме-

ны B → −B; полная эквивалентность достигается при замене спиноров ψ → iψ)

соответствует античастице и подчиняется уравнению Дирака(3.11.1),в котором e

заменено на −e. Действительно, комплексно сопрягая уравнение(3.11.1) и умно -

жая его слева на B−1, с учетом(3.10.28)мы получаем

B−1 ((−i∂m − eAm)γ m − M) ψ = ((i∂m + eAm)γm − M) B−1 ψ = 0 .

(3.11.3)

15C

Спинор ψC называется зарядово-сопряженным спинором , а матрица C- матрицей

зарядового сопряжения(т.к.с ее помощью определяется зарядово-с пряженный

¯T

, ср . с (3.11.2)).Уравнение(3.11.1),описывающее частицу со

спинор ψC = −Cψ

спином,было открыто П.Дираком.Он же

заметил,что если у нас есть реше-

ние(3.11.1),описывающий частицу с зарядом

e, то с помощью преобразования

(3.11.2)доказывается существование нетривиального решения уравнения(3.11.3),

описывающего античастицу с зарядом −e. На основании этого наблюдения Дирак

предположил,что у каждой спиновой частицы должен быть партнер,соответству-

ющий античастице с противоположным зарядом.Например для электрона должна

обязательно существовать античастица–позитрон.Вскоре эта,предсказанная им

теоретически,частица была на йдена экспериментально.

По определению майорановский спинор(мы ввели эти спиноры при

D = 4

выше в(3.9.42))описывает частицы совпадающие со своими античастицами

ψ =

ψC , т . е .

ψ = B−1ψ ,

(3.11.4)

major

BT = ϵB , BB† = 1 .

(3.11.6)

BB

Действительно,пользуясь(3.10.25), (3.

10.26), (3.10.27), (3.10.30)и(3.11.5),мы по-

лучаем

(3.11.7)

CG

= ϵ (−)p−1 (−)

(p−1)p

C γm1 · · ·γmp

= ϵ (−)

(p−1)(p−2)

C γm1 · · ·γmp ,

2

2

где m1 < m2 < .... < mp. В частности мы имеем (Cγm)T = ϵCγ m, откуда с учетом

определения матрицы B (3.10.28)мы получаем первое равенство (3из.11.6)

Пользуясь этим равенством(3и.10.29)мы легко выводим второе равенство из

(3.11.6).

Замечание2. При преобразовании подобия для образующих алгебры Клиф-

форда γm′ = UγmU−1 матрица B, согласно (3.10.28), преобразуется по правилу

B′ = U BU−1. Условие приведения матрицы B к единице U B = U (чисто мнимое

представление для γm и вещественность майорановских спиноров ψ = Bψ = ψ,

см. (3.11.4))самосогласовано лишь в случае,когда

ϵ = +1. Очевидно, что матрица

U определена с точностью до домножения слева на произвольную невырожденную

вещественную матрицу R: U → RU. Разлагая матрицу B на мнимую и действи-

тельную части B = B1 + iB2, где B1,2

вещественны и симметричны(

ϵ = +1),из