Group_theory_lecture

ренца.Преобразования группы O(1, 1) в двумерном пространстве сохраняют квадратичную форму

Соответствующие преобразования координат (x1, x2) можно получить,если выделить комбинации x± = (x1 ± x2), аналогичные координатам (x1 ± ix2) для группы SO(2) в евклидовом случае).При этом преобразования x±, сохраняющие форму (3.1.28),очевидно имеют вид о дного из следующих4-х типов

81

Здесь мы записали квадратичную форму в более удобном виде x 2 = x1x1 + x2x2, с помощью ковариантных, координат с верхними индексами xi = ηij xj (x1 = x1, x2 = −x2).Координаты с нижними индексами(см.ниже лекцию о группе Лоренца)мы будем называть контрвариантными . Т . о ., с помощью матрицы( метри - ческого тензора) ηij и ее обратной матрицы ηij , мы можем поднимать и опускать индексы у координат векторов.Теперь преобр азования контрвариантных векторов определяются следующим образом

82

(γi pi − m)(γi pi + m) = 1(γiγj + γj γi)pipj − m2 h¯ h¯ 2 h¯2

и следовательно γi являются некоммутирующими операторами,которые должны удовлетворять соотношениям:

−

Например мы можем выбрать представление для γi в виде двумерных матриц

83

Для моментов свободных частиц с массами ma в двумерном прострастве мы имеем (p1a)2 − (p2a)2 = m2a. Удобно вместо моментов пользоваться быстротами θa

p1a = machθa , p2a = mashθa .

Двух частичная S-матрица становится функцией разности быстрот двух сталкивающихся частиц θab = θa − θb, и эта разность тесно связана с инвариантом sab в s-канале

sab = (pa + pb)2 = m2a + m2b + 2mambchθab .

Упражнения.

1. Вывести равенство(для φ ≤ 1):

eiφ = I cos φ + i sin φ ,

пользуясь определением матрицы eiφ и разложениями функций sin и cos в ряды Тейлора.

3.2Лекция9.Многообразия.Непрерывные группы Ли.Компактные и некомпактные группы.Общее определение алгебр Ли.

Непрерывные группы Ли.

Группа O(2) дает нам пример бесконечномерной группы,для элементов которой заданы геометрические свойства, такие как близость ее элементов(например,близость к единичному элементу опреде ляется формулами(3.1.12), (3.1.14)). Более того элементы группы O(2) могут рассматриваться как точки некоторого гладкого пространства, котором можно ввести координаты(параметры группы), можно дифференцировать функции на этом пространстве и т.д.Действительно, пространство группы SO(2) есть окружность S1 –компактное гладкое пространство.Пространство группы O(2) более сложное,оно состоит из двух несвязных друг с другом компонент, .е.двух окружностей S1, одна из которых получается непрерывными преобразованиями из единичного элемента I ·eφi (0 ≤ φ ≤ 2π) (это пространство группы SO(2), т . кe.φi SO(2)),а вторая получается непрерывными преобразованиями из оператора отражения T (r) (3.1.6): T (r) · eφi. Непрерывными преобразованиями(с помощью умножения на элементы из SO(2)) мы не можем

84

тов,оказываются дифференцируемыми ф ункциями от координат сомножителей

и , то группа называется группой Ли.

φ ψ G

C другой стороны раз элементы группы G параметризуются N- координатами, то мы можем рассматривать группу G как N- мерное пространство( каждому элементу G соответствует точка некоторого N- мерного пространства), а дифферен-

цируемость функций гарантирует нам то,что э то пространство является

χ(φ, ψ)

гладким(это следует из группового свой ства(3.2.1),если выбрать координаты

1

на группе так,что 1 и рассмотреть(3.2.1) при малых ).Т.о.,мы

φ g(φ)1 = e φ

φ=0

приходим к еще одному определению:

Определение. Бесконечномерная группа,пространство элементов которой-об разует гладкое(аналитическое)многообразие,называется группой Ли.

Это определение требует введения понятия многообразия.Строгая формулировка понятия многообразия была дана в работах.ФК.Гаусса 9,который занимался исследованиями в области геодезии и картографии земной поверхности. Поэтому,прежде чем дать математическое определение многообразия,обсудим

9К.Ф.Гаусс(Carl-Friedrich Gauss)знаменитыйнемецкий математик.Род. 23апреля 1777года в Брауншвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности.Рассказывают,что,будучи трех лет,Г.решал числовые задачи и любил чертить геометрические фигуры.Юный вычислитель был представлен герцогу Карлу Вильгельму Фердинанду Брауншвейгскому и

основным при изучении теории чисел.В дальнейшем,кроме математики,занимался астрономией и небесной механикой,интересовался земным магнетизмом.Под конец своей плодотворной деятельности,в18461847гг.Г.занимался геодезией и картографией

и издал по этому предмету два мемуара. Умер 23 февраля 1855 г . В Г . мы в идим человека с универсальными математическими

85

проблему картографии земной поверхности.Все способы построения карт для -по верхности земного шара сводятся к одной процедуре:к проекции отдельных участков выпуклой земной поверхности на плоскость.Очевидно,что целиком сферическую поверхность спроецировать на плоскость невозможно.Более того,при проекции больших участков земной поверхности неизбежно возникают искажения.Чем меньше участки земной поверхнос,теми больше они похожи на плоские куски

и,соответственно,меньше искажения на плоских картах , отображающих отдельные участки.Один из способов разрезать сферу на участки,близкие к плоским,

куски уже можно,достаточно точно,отобразить на плоскость,чтобы получить набор соответствующих карт.Для того,чтобы путешествовать,имея на руках набор таких карт(этот набор называется атласом ),на большие растояния(которые не

покрываются одной картой),необходимо иметь некоторое перекрытие имеющихся карт

Такое перекрытие позволяет узнать в каком месте мы,покидая местность,соответствующую первоначальной карте,прив язываемся к следующей карте.С математической точки зрения это означает,что мы должны иметь карты,которые соответствуют открытым подмножествам исследуемого пространства.В конце концов,весь сложный объект(например,сфера ) получается склейкой( сшивкой) более простых объектов(однозначно отображающихся на участки плоскости–карты)

по их общей части.

Эта идея(представление сложного объекта как склейки большого числапро стых объектов, "подобных"плоским)лежит в основе изучения большого числа геометрических объектов,которые называются многообразиями . В определенном смысле мы уже встречались с процедурой склейки,когда в лекции4обсуждали теорему Эйлера(двумерные поверхности мы апроксимировали объектами,которые получались склейкой плоских многоугольников по их ребрам;в результате

86

мы получали не гладкие"многообразия"с особенностями,располагающимися на ребрах и в вершинах).

Простейшие примеры многообразий это поверхности M (какого-либо числа измерений,скажем m),вложенные в n- мерное евклидово пространство En большего числа измерений n > m. Напомним, что n- мерное евклидово пространство это множество точек x, задаваемых набором вещественных чисел(координат точки)

x = (x1, . . . xn), причем расстояние |x − y| между двумя точками x, y определяется симметричной(евклидовой ) квадратичной формой |x − y|2 = 'nk=1(xk − yk)2. Поверхность M можно задавать в En с помощью набора независимых уравнений

fA(x1, . . . , xn) = 0 , (A = 1, 2, . . . , n − m) .

Т.к.число уравнений равно n −m, то мы можем использовать их для определения n − m координат через m – независимых. Т . о n., − m уравнений в En в общем случае задает m- мерную поверхность. Например, единичная сфера S3 задается в

R4 уравнением: x21 + x22 + x23 + x24 − 1 = 0.

Локальные куски U поверхности M однозначно отображаются"вплоские" m- мерные(это и опреде ляет размерность M) области V некоторого m- мерного евклидова пространства, в качестве локальных координат точек в U можно выбрать прообразы координат соответствующих точек в V . Далее , пользуясь возможностью определения локальных координат на локальных картах многообразия M, можно определить на перекрывающихся кусках M функции перехода от одних координат к другим и выяснить являются ли эти функции дифференцирумыми(гладкими),что дает возможность определить гладко ли сшиваются разные куски M и,следовательно,ввести понятие гладкого или дифференцируемого многообразия. Теперь мы готовы дать строгое определение гладкого многообразия.

Определение. Дифференцируемым(гладким ) m- мерным многообразием называется множество точек M, снабженное структурой, называемой" атласом т. е . множество M покрыто совокупностью своих открытых подмножеств U(α), на - зываемых"локальными картами так что M = αU(α). Причем:

1. Установлено взаимнооднозначное отображение φ(α): U(α) → V (α), где V (α)

– некоторая открытая область евклидова пространства Rm с координатами {y1, . . . , ym}. Это отображение определяет на множестве U(α) набор функций x(kα): U(α) → R, называемых локальными координатами любой точки P U(α): x(kα)(P ) = yk(φ(α)(P )).

87

2. Одна и та же точка P множества M может принадлежать различным -ло кальным картам P U(α) ∩ U(β). В пересечении локальных карт U(α) ∩ U(β) действуют уже две системы локальных координат {x(kα)}, {x(kβ)}. Требуется, чтобы каждая из указанных систем локальных координат во всех таких пересечениях U(α) ∩ U(β) гладко выражалась через другую и обратно

x(kα) = yk ,φ(α)φ(β)−1(x(1β), . . . , x(mβ))- .

Кроме того функции перехода из одной координатной системы в другую были бы

невырожденными

(α)

det(∂xk ) ̸= 0 .

∂x(jβ)

Примеры. Многообразия некоторых групп Ли.

1.Групповое многообразие группы всех трансляций в Rn совпадает с самим пространством Rn.

2.Группа,которая обозначается GL(n, R) (или GL(n, C)), n ×n матриц A = ||aij|| с детерминантом, не равным0, над полем вещественных R (или комплексных C) чисел представляет собой n2- мерное( или 2n2- мерное в комплексном случае) ве - щественное пространство с координатами {aij } (или {Re(aij ), Im(aij )}) за исключением поверхности det(A) = 0 (или поверхностей Re(det(A)) = 0 = Im(det(A))). 3.Группа вещественных(комплексных)матриц с детерминантом равным1,обозначается SL(n, R) (или SL(n, C)) задается одним уравнением det(A) = 1. Это уравнение определяет (n2 −1)- мерную гиперповерхность в n2- мерном вещественном(или комплексном)пространстве.

4.Группа ортогональных матриц O O(n) и соответствующее многообразие задается системой уравнений O · OT = I, где I – единичная матрица( т . к . матрица O · OT – симметрична, то число независимых уравнений равно n(n + 1)/2).Размерность этого многообразия равна n(n − 1)/2.

5.Группа унитарных матриц U U(n) задается системой уравнений U · U† = I (т.к.матрица U · U† – эрмитова, то число независимых вещественных уравнений равно 2 ·n(n −1)/2 + n).Соответствующее многообразие имеет вещественную-раз мерность n2.

6.Группа специальных унитарных матриц U SU(n) задается системой уравнений U · U† = I, det(U) = 1. Соответствующее многообразие имеет вещественную размерность n2 − 1.

88

Ниже мы даем несколько определений для многообразий(на интуитивном уровне),которые нам понадобятся в дальнейшем.

Определение1. Группа Ли называется компактной(некомпактной)если соответствующее многообразие группы компакт(некомпактно).

Напомним,что множество M называется компактным,если из любого покрытия M открытыми множествами можно всегда выделить конечное покрытие????.

Определение2. Две одномерные кривые,лежащие в некотором многообразии M,называются гомотопными если они могут быть переведены друг в друга с

помощью непрерывных преобразований.Если все замкнутые кривые в M гомотопны друг другу,то такое многообразие M называется связным. Если в M существует m замкнутых кривых,которые негомотопны,то такое многообра-

зие называется m- связным.

Примеры

1.Многообразие состоящее из д вух непересекающихся шаров в R3 является несвязным.Каждый из шаров представляет собой односвязные многообразия.

2.Шар,у которого отождествлены диаме трально противоположные точки граничной сферы является двухсвязным многообразием.

3.Окружность S1 бесконечно-связна,т.к.замкнутая кривая,которая k раз оборачивается вокруг окружности,не может быть деформирована в кривую,оборачивающуюся вокруг окружности n ̸= k раз.

Общее определение алгебр Ли.

Для начала напомним определение алгебры.

Определение Алгеброй A над полем K называется линейное(векторное)пространство над полем K, в котором, кроме сложения элементов A и умножения их на числа из K, определена операция умножения m: A A → A , т . е . m(a, b) = a b A ( a, b A), причем это умножение удовлетворяет аксиомам дистрибутивности

a (αb + βc) = α(a b) + β(a c) ,

где a, b, c A и α,β K. Если умножение m удовлетворяет еще и аксиоме ассоциативности: a (b c) = (a b) c, то алгебра A называется ассоциативной.Если векторное пространство A рассматривается над полем вещественных(ком-

89

90