Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

где мы использовали4матрицы

σm

σ0 =

1 0

σ1 =

0 1

, σ2 =

−i

, σ3 =

, (3.9.4)

sigm

0 1

1 0

0 −1

которые образуют базис в пространстве эрмитовых 2 × 2 матриц.Соответствие

xm ↔ X взаимно однозначно,т.к.имеется обратная формула

xm =

Tr(Xσm) ,

(3.9.5)

которая следует из равенства 21 Tr(σnσm) = δnm. Отметим однако, что эта формула

не совсем корректна, .к.связывает

объекты с нижним и верхним лоренцевским

индексами.Эта кажущаяся неточность буд

ет разрешена в следующем подпункте

"Спиноры".

Рассмотрим линейное преобразование матрицы X, оставляющее ее эрмитовой:

†

= x˜

σm

( A SL(2, C)) .

(3.9.6)

prelo2

X → X = A X A

Заметим,что это преобразование сохраняет детерминант матрицы

†

det(X) = det(X) .

det(X) = det(A X A ) = | det(A)|

Т.к. det(X) =

(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 =

xmxm, то линейное преобразова-

ние xm → x˜m (3.9.6)сохраняет длины интервал ов в пространстве Минковского

(xmxm = x˜mx˜m),и следовательно является преобразованием Лоренца.

Отметим,что две матрицы ±A обслуживают одно и то же преобразование -Ло

ренца,т.е.группа SL(2, C) дважды накрывает группу Лоренца.Отметим также,

что у группы SL(2, C) имеется3комплексных параметра( .е. 6вещественных па-

раметров)и т.о.размерности многообразий групп Лоренца и

SL(2, C) совпадают.

Спиноры.

Группа матриц SL(2, C) естественно действует в пространстве двухкомпонентных

ξ1

+, которые представляют собой пару комплексных чисел ξ1 и

векторов ξ = * ξ2

ξ2. Такое действие имеет вид

ξ → ξ′

= Aξ , ξ

α′ = Aαβξβ .

(3.9.7)

spin1

Вектора ξ в двумерном комплексном пространстве C2 с действием на них группы SL(2, C) (3.9.7)называются ковариантными спинорами (или просто спинорами).

151

Т.о.,пространство ковариантных спиноро в является пространством определяющего представления группы SL(2, C).

Определим спинор с верхним индексом ηα и его преобразование так, чтобы свертка ηαξα была инвариантна при преобразованиях(3.9.7).Соответствующее преобразование спинора ηα имеет вид

η → η′ = ηA−1 = (A−1)T η , η ′α = ηβ(A−1)βα .

(3.9.8)

spin2

Спинор,который преобразуется по правилу(3

.9.8)будем называть контрвариантным .

Заметим теперь,что матрицы A SL(2, C) (3.9.1)и (A−1)T (3.9.2)связаны между

собой преобразованиями

(A−1)T = E A E−1

((A−1)T )αβ ≡ (A−1)βα = Eαγ Aγδ Eδβ ,

(3.9.9)

aat

αβ

≡ *

+ , E

αβ

(3.9.10)

metr

01 0 + ,

Eαβ ≡ Eαβ−

* 1

−0

Eβγ = δγ .

−

Для простоты мы будем опускать знак степени"

−1"у элементов обратной матри-

цы Eαβ ≡ Eαβ−1 с нижними индексами( также как и у метрики

gnm).На самом деле

соотношение(3.9.9)есть не что иное как условие

det(A) = 1:

EγδAγαAδβ = Eαβ .

В силу соотношения(3.9.7), (3.9 .8),

(3.9.9)мы видим,что спиноры

ηα и ξα

преобразуются по эквивалентным представлениям группы SL(2, C), т . е . мы всегда

спинор с верхним индексом можем перевести в спинор с нижним индексом(

наоборот)воспользовавшись матрицами

E, E−1:

ηα = −ηβEβα = Eαβηβ ,

ξ α = Eαβξβ = −ξβEβα .

(3.9.11)

metr1

Действительно легко проверить(см. (3.9.8)),что

ηα = −ηβEβα −→ −ηγ (A−1)γβEβα = ηδEδγ(A−1)γβEβα = Aαδηδ ,

при этом билинейная кососимметричная форма

ηα ξα = ηαEαβξβ = −ηαEαβξβ = −ηα ξα

остается инвариантной при преобразованиях группы SL(2, C).

Каждой матрице A SL(2, C) можно сопоставить комплексно сопряженную матрицу A SL(2, C) с помощью которой, как следует из(3.9.7), преобразуется комплексно сопряженный спинор ξα

ξ → ξ ′ = A ξ , ξ α′ = A αβξ β ,

(3.9.12) spin3

152

A 11 A 12

(3.9.13)

A α

= A 21

A 22

1 A 2

− A 1

A 2 = 1 .

uni4

Отображение SL(2, C) → SL(2, C): A → ρ(A) = A очевидно является гомо-

морфизмом и,т.о.,отображение

ρ определяет представление SL(2, C), которое

называется комплексно сопряженным.До

кажем,что это комплексно сопряжен-

ное представление не является эквивалентным спинорному представлению(3.9.7).

Для этого надо показать,что для всех матриц

A (3.9.1)и их комплексно сопря-

женных матриц A (3.9.13)не существует матрицы

V такой,что

A = V A V −1.

Действительно,если бы такая матрица

V существовала,то мы всегда имели бы

равенство Tr(A) = Tr(A ), что в действительности реализуется не для всех мат-

риц A SL(2, C). Отметим , что для унитарных матриц U (3.4.1)мы очевидно

имеем Tr(U) = Tr(U ), и т . кU. = (U−1)T , то для группы SU(2) определяющее и

комплексносопряженные представления эквивалентны.

В вычислениях удобно индексы у сопряженного представления отличать от -ин

дексов у обычного спинорного представления(дабы не было соблазна их свернуть

друг с другом),поэтому индексы сопряже

нного представления отмечаются точ-

кой.Например,для комплексно сопряженного спинора

ξα

≡ ξα˙ формулы(3.9.12)

и (3.9.13)переписываются в виде

ξ → ξ ′ = A ξ ,

ξα′˙

= ξβ˙ A†

α˙ ,

(3.9.14)

spin5

= A α˙βξβ˙

A α˙β˙ =

1˙1˙

1˙2˙

(3.9.15)

uni5

2˙

Контравариантные сопряженные спиноры имеют верхний пунктирный индекс

и преобразуются по правилу

ξα˙

→

ξ′

α˙

= ξβ(A )−1β˙

а метрические матрицы имеют такой же вид как и(3в.9.10), (3.9.11)

ηα˙

ξ α˙

(3.9.16)

metr2

= −ηβEβα˙ ˙

= Eα˙ β˙ ηβ ,

= Eα˙ βξβ˙

= −ξβ˙ Eβα˙ .

≡ *

+ , Eα˙ β˙

≡ Eα−˙ β˙ =

−0

+ ,

Eβγ˙ ˙

= δγ˙ .

(3.9.17)

metr3

αβ

α˙ β

α˙

−

Рассмотрим теперь матрицу X (3.9.3).В силу закона преобразования(3.9.6)

и формул(3.9.7), (3.9.14)элементы матрицы

X необходимо обозначать X ˙ . Т . к .

αβ

матрица X построена из матриц σm, то элементы этих матриц также необходимо

153

обозначать как (σm) ˙ . Теперь ясно, почему формула(3.9.5) некорректна– две

αβ

матрицы (σm) ˙ невозможно умножить друг на друга напрямую ковариантным

αβ

образом.Для того,чтобы умножать σ-матрицы ковариантно введем набор сопря-

женных σ-матриц

σ˜mαα˙

= Eα˙ βEαβ(σm)ββ˙

(3.9.18)

sopsi

σ˜m = (σ0, −σ1, −σ2, −σ3) , σ˜m = σ˜ngnm = (σ0, σ1, σ2, σ3) .

Вводя соответствующую матрицу Xαα˙ =

αβX ˙

α˙ β

риантные произведения

ββ, мы можем устраивать кова-

αα˙

(3.9.19)

XtX

Xαα˙ = Xαα˙

= xm x .

Теперь соответствие x

↔ X (3.9.5)записывается корректной формулой

xm =

Tr(Xσ˜m) ,

(3.9.20)

xXX

в обоих частях которой стоят объекты с верхними векторными индексами. Поль -

зуясь формулой(3.9.20),преобразование(3.9.6)можно переписать в виде стан-

дартного преобразования Лоренца(3.8.7)

x˜m =

Tr(X˜ σ˜m) =

Tr(AxnσnA†σ˜m) = xn(Λ−1)m ,

(Λ−1)nm =

Tr(AσnA†σ˜m) .

(3.9.21)

Симметричные(по векторным индексам)комбинации матриц

σm (3.9.4)и σ˜m

(3.9.18)удовлетворяют соотношениям

(σmσ˜n + σnσ˜m)αβ = 2 gnm δαβ ,

(˜σmσn + σ˜nσm)α˙ ˙ = 2 gnm δα˙˙

(3.9.22)

ssg

и мы имеем

Tr(σnσ˜m) = 2 gnm ,

Tr(˜σmσnσ˜kσl) = 2(gnmgkl − gnlgkm + gnkglm) ,

(3.9.23)

mnkl

где первое тождество очевидно,а второе доказывается стандартно

Tr(˜σmσnσ˜kσl) = Tr(σnσ˜kσlσ˜m) = Tr(σnσ˜k(2glm − σmσ˜l)) =

(3.9.24)

proo

= 4gnkglm − Tr(σn(2gkm − σ˜mσk)˜σl) = 4gnkglm − 4gnlgkm + 4gnmgkl − Tr(σmσ˜nσkσ˜l) .

Введем матрицы σnm и σ˜nm антисимметричные по векторным индексам n, m

(3.9.25)

(σnm)αβ = −

(σnσ˜m − σmσ˜n)αβ ,

(˜σnm)α˙β˙

= −

(˜σnσm

− σ˜mσn)α˙β˙ .

snm2

154

Эти матрицы обладают свойством симметрии

(σnm)αβEβγ = (σnm)γβEβα ,			Eα˙ γ˙ (˜σnm)γ˙ β˙ = Eβγ˙ ˙ (˜σnm)γ˙ α˙ .				(3.9.26)
Заметим,что (i, j, k = 1, 2, 3)
σ0i =	1	σi ,	σij =	1	Eijk	σk

	2			2

где Eijk – антисимметричный тензор3его ранга.Пусть параметры ωnm = −ωmn R образуют атисимметричную 4 × 4 матрицу,тогда

(ωnmσnm)αβ = (ω0iσi + 2i Eijkωjkσi)αβ = (ziσi)αβ ,

где мы определили3комплексных числа
	i		(3.9.27)
zi = ω0i +		Eijkωjk .
	2

по6-и вещественным параметрам ωnm = −ωmn. Т . к . матрицыσi (i = 1, 2, 3) образуют базис в алгебре Ли для группы SL(2, C) (напомним,что алгебру Ли группы SL(2, C) образуют все двумерные комплексные матрицы a такие,что T r(a) = 0), то мы можем записать инфинитезимальное преобразования A, A† SL(2, C) в виде

snm3


	1						1					(3.9.28)
Aαβ = δαβ −						(ωnmσnm)αβ + . . . ,	(A†)α˙β˙ = δα˙β˙ +				(ωnmσ˜nm)α˙β˙ + . . . .
				2						2
Подставляя это представление(3в.9.21),мы получаем
(Λ−1)nm =	1				Tr(AσnA†σ˜m) = δnm −		1		[Tr(σklσnσ˜m) − Tr(σnσ˜klσ˜m)] ωkl + . . . =

		2						4
= δnm +	1		[Tr(σkσ˜lσnσ˜m) − Tr(σnσ˜kσlσ˜m)] ωkl + . . . = δnm − gnkωkm + . . . ,

	8
где мы использовали тождества(3.9.23)									. Сравнивая это соотношение с инфините-

зимальным преобразованием Лоренца(3.8.13),мы устанавливаем точное соответ-

ствие элементов группы SL(2, C) и элементов собственной ортохронной группы Лоренца:

± (1 +	1	ωnmσnm + . . .)αβ = ±Aαβ −→ Λnm = (δnm + ωnm + . . .) ,	(3.9.29)
	2

где ωnm = gnkωkm.

SLor1

SLor

Замечание. Почти все элементы A SL(2, C) представимы в экспоненциальной форме

A = exp(ziσi) (z1, z2, z3 C) ,

(3.9.30) exp5

155

где σi – матрицы Паули. Экспоненциальная форма(3.9.30) покрывает							SL(2, C)
почти полностью за исключением комплексной двумерной поверхности в SL(2, C),
состоящей из элементов[21]		+ = B * −0		+ B−
* − −b2	1 + ab	+ = B * −0	1	+ B−		, B SL(2, C) .	(3.9.31) exp6
1 ab	a2	1	1		1
−	−		−

Это следует из того факта,что матрица(3					.9.31)недиагонализуема и имеет два
совпадающих собственных значения,равных					−1, а матрица ziσi либо диагонали-
зуема,либо,т.к. Tr(ziσi) = 0, приводится к виду						σi) → *			+ .
z	σi → *	0	0	+ A = exp(z		σi) → *	0	1	+ .
i		0	u		i		1	eu
Заметим,что если A SL(2, C), то либо A либо −A имеют экспоненциальную
форму(3.9.30).
Матрицы Дирака.Дираковские спино					ры,биспиноры.Майорановские и
вейлевские спиноры.

Составим из двух спиноров ξα и ηα˙ (= ηα ) (α, α˙ = 1, 2) четырехкомпонентный

спинор			.
Ψ =	ξα			(3.9.32)
	η	α˙

Такой спинор называется дираковским спинором. На такой спинор естественным образом(согласно расстановк е спинорных индексов) действуют 4 ×4 матрицы γm, имеющие блочную структуру

γm =	0	σm	(3.9.33)
	σ˜m	0

Эти матрицы называются дираковскими гамма-матрицами и удовлетворяют определяющему соотношению алгебры Клиффорда:

dirspin

dirg

γmγn + γnγm = 2 gmn ,

(3.9.34)

clcl

Согласно(3.9.28), (3.9.29)преобразова

ния Лоренца действуют на дираковский спи-

нор следующим образом

* 0 σ˜nm +

2ω

Ψ → *0 (A−1)†+ Ψ ≡ U Ψ δΨ = 2

Ψ =

Σnm Ψ ,

A 0

σnm

(3.9.35)

SLor2

где Σnm = −41 (γnγm − γmγn).

156


Контрвариантный (3к .9.32)дираковский спинор имеет вид
				= (ηα , ξα˙ )			(3.9.36)		dirspin1
			Ψ	= (ηα , ξα˙ )			(3.9.36)		dirspin1
и как следует из(3.9.32) (3.9.33)мы имеем						= Ψ †γ0, так что		(3.9.36) –обычный
и как следует из(3.9.32) (3.9.33)мы имеем					Ψ	= Ψ †γ0, так что	Ψ	(3.9.36) –обычный
дираковский сопряженный спинор к Ψ. Инвариантная, относительно преобразо-
ваний(3.9.35),форма имеет вид
(		Ψ) = ηα ξα + ξα˙ ηα˙ = Ψ†γ0Ψ .					(3.9.37)		invfo
(	Ψ	Ψ) = ηα ξα + ξα˙ ηα˙ = Ψ†γ0Ψ .					(3.9.37)		invfo

Т.е.преобразование(3.9.35)является у нитарным относительно метрики,реализованной матрицей γ0,

U† γ0 U = γ0 U Spin(1, 3) SU(2, 2) ,

и матрицы Σnm – образующие группы Spin(1, 3), о которой мы будем говорить в следующей Лекции.

Введем в рассмотрение еще одну гамма-матрицу

	*			+
γ5 = −iγ0γ1γ2γ3 =	Iαβ		0		2				(3.9.38)	dirg5
γ5 = −iγ0γ1γ2γ3 =	0		−Iα˙β˙	,	γ5 = I4 ,			γ5γm + γmγ5 = 0 ,	(3.9.38)	dirg5
где I обозначает (2 × 2) единичную матрицу,						I4 – (4 × 4) единичную матрицу.
Используя матрицу γ5 мы можем определить2проектора
	PL =	1	(I4 + γ5) ,		PR =	1	(I4	− γ5) .	(3.9.39)	prLR

		2				2

которые удовлетворяют соотношениям

PL PR = PR PL = 0 , PL2 = PL , PR2 = PR

Действие проекторов PR, PL на дираковский спинор расщепляет его на два дираковских спинора

ΨL = PLΨ =		ξα		,	ΨR = PRΨ =		0α˙		,	(3.9.40) weil
		0					η

которые преобразуются при преобразованиях Лоренца как и обычный дираковский спинор(3.9.35),что следует из соотношений [Σmn, γ5] = 0, [Σmn, PR,L] = 0. Спиноры(3.9.40)являются дираковской ф ормой двухкомпонентных вейлевских спиноров ξα, ηα˙ и часто сами спиноры ΨL,R называются вейлевскими.

157

Кроме дираковски сопряженного спинора Ψ (3.9.36)можно определить еще одно преобразование над Ψ, которое приводит к определению ковариантного спинора,преобразующегося как(3.9.35)

ηα

C =

αβ

(3.9.41)

ΨC = C γ0 Ψ = C Ψ

α˙

α˙ β˙

Этот спинор называется зарядово сопряженным к спинору Ψ.

Рассмотрим дираковский спинор(3.9.32)в частном случае,когда

ξα = ηα. Оче -

видно,что такой4-х компонентный спинор

ηα

(3.9.42)

ΨM =

ηα˙

преобразуется как дираковский спинор(3.9.35).Спинор

ΨM называется майора-

новским.Замечательным свойством майора новского спинора(3.9.42)является то,

что он удовлетворяет тождеству

ΨM = C γ0 ΨM = ( ΨM ) ,

т.е.майорановский спинор ΨM равен своему зарядово сопряженному спинору.

Заметим,что вейлевские спиноры(3.9	.40)могут совпадать с майорановскими
(3.9.42)только если они нулевые.Этот	факт будет отмечен ниже в лекции о много-
мерных спинорах,где будет показано,что	ненулевые майорано-вейлевские спино-

ры могут быть определены только в пространствах с размерностью D = 2 mod(8).

Дополнение.Твисторы.

и его комплексносопряженный спинор

Рассмотрим комплексный спинор

a˙

(a = 1, 2, 3, 4)

λα

Za =

, Za˙

λα˙

(3.9.43)

µ¯

которые образуют определяющее 11 и сопряженное к нему представления группы

SU(2, 2):

′	b			′	˙			¯
			→ Z		¯ b
Za → Za	= Aa	Zb , Za˙		a˙	= Aa˙	Zb˙	(A SU(2, 2) , A = A ) .

11Следует различать определяющее(стандартно						е)и фундаметальное представления.Пред-
ставление группы(или алгебры)Ли называется фундаментальным,если оно неприводимо и его
старший вес является фундаментальным весом.Фундаментальные веса								ω1, ω2, . . . ,ω n, это веса

которые определяют базис Λ дуальный к набору простых кокорней Hα1 , . . . , Hαn . Например, фундаментальными представлениями специальной линейной группы SL(N ) являются внешние степени стандартного представления.

charge

major1

twistor

158

Контрвариантный спинор ¯a преобразуется по правилу

¯a	¯′	a	¯b	−1	a
Z	→ (Z )		= Z	(A	)b .

Этот спинор имеет вид

¯a	α	¯	¯a		g	aa˙	.
Z	= (¯µ	, −λα˙	) , Z	= Za˙	g		.

и строится из Za˙ (3.9.43)с помощью инвариантной,относительно преобразований SU(2, 2), метрики gaa˙

gaa˙ =

0 −δβ˙α˙

, A¯ b˙ gaa˙

A b = gbb˙ .

δαβ

a˙

Т.о.инвариантная форма(ср.с(3.9.37))для спиноров

¯a

, Za равна

¯a

Za) = µ¯

α˙

(3.9.44)

spns

λα − λα˙ µ

¯a

удовлетворяют каноническим SU(2, 2)- инвариантным

Пусть спиноры Za и Z

коммутационным соотношениям

, Zb] = i δb

[¯µ

, λβ] = i δβ ,

[µ

, λβ˙

] = i δβ˙ .

(3.9.45)

comzz

¯a

α˙

Тогда генераторы алгебры Ли группы SU(2, 2) SO(2, 4) можно реализовать, как квадратичные комбинации осцилляторов (3.9.45),следующим образом(ср.с (3.6.14))

αα˙

α˙

Pαα˙ = λαλα˙

, K

= µ

µ¯

, Mαβ = λ(α µ¯β) , Mα˙ β˙

= µ(α˙ λβ˙)

, D =

(λαµ¯

+ µ

λα˙ ) .

gsu22

(3.9.46)

Следует ли отсюда равенство KmKm = 0????

Рассмотрим релятивистскую безмассовую частицу,состояние которой описы-

вается точкой в фазовом пространстве с координатами {xm, pm} (двигающуюся в

пространстве M с 4- мя координатами xm и 4- импульсом pm, pmpm = 0).Фунда-

ментальное представление Za (3.9.43)группы SU(2, 2) называется твистором,если

имеется следующая связь между спинорами(3.9.43)и координатами

{xm, pm}

α˙

αβ˙

(3.9.47)

= X

λβ

µ¯

βα

twtr

Pαα˙ = λαλα˙ ,

= λβ˙ X

где мы определили

= xm σ/mαα˙ .

Pαα˙ = pm σαmα˙ ,

Xαα˙

(3.9.48)

mXP

159

Связь(3.9.47)называется твисторным преобразованием . Учитывая уравнения(3.9.47)

и (3.9.48),мы можем переписать образ ующие(3.9.46)в терминах координат	{xm, pm}
P = P = pmσm , D = 21 (pmxk + xkpm) Tr(σmσ/k) = (p x) + (x p) ,

K+ 4ih¯ X = xmpnxkσ/mσnσ/k + 4ih¯ X = xm(xkpn − ih¯δnk)σ/mσnσ/k + 4ih¯ X =

=12 xmxkpn(σ/mσnσ/k + σ/kσnσ/m) = 12 xmxkpn((2gmn − σ/nσm)σ/k + (2gkn − σ/nσk)σ/m) =

=12 xmxkpn(2gmnσ/k + 2gknσ/m − 2gmkσ/n) = (2 xn (x p) − (x2) pn) σ/n ,

)αβ + (σmσk

)βα] =

Mαβ = Pαβ˙ XβγEγβ

+ Pββ˙ Xβγ Eγα = pmxk[(σmσk

= 2pmxk[(σmk

)αβ + (σmk

)βα] = 2 (pkxm/

Epmxk) (σmk/)αEγ

γβ ,

−

γβ˙

m k

) Eα˙ γ˙ (σ/mk)

γ˙

Mα˙ β˙ =

Eα˙ γ˙ X

Pββ˙ + Eβγ˙ ˙ X

Pβα˙

= 2 (x p

− x p

β˙ ,n

где мы воспользовались сотношениями(3.9.22), (3.9.25), (3.9.26),

[xm, p

] = ih¯δm.

Т.о.,действительно алгебра(3.9.46)связана с конформной алгеброй

so(2, 4) (см.

(3.8.14), (3.8.17)).

В заключении отметим, что инвариант

¯a

Za) (3.9.44)связан со спиральностью

безмассовой частицы, .к.

Wαα˙ =

¯a

Za) Pαα˙

где матрица Wαα˙

= W m (σm)αα˙ и Wm – координаты вектора ПаулиЛюбанского

ˆ nk ˆr

(3.9.49) plub

Wm =

EmnkrM P

Упражнения.

1.Доказать,что операторы

σnm образуют алгебру Ли

[σnm, σkl] = −gnlσmk + gnkσml − gmkσnl + gmlσnk ,

которая совпадает с алгеброй Ли группы Лоренца(3.8.15).

2.Доказать,что для D = 4 матриц γm (3.9.33),образующих алгебру Клифорда (3.9.34),выполняются тождества(указание,см. (3.9.24))

Tr(γmγn) = 4gmn , Tr(γmγnγk) = 0 , Tr(γmγnγkγl) = 4(gmngkl − gmkgnl + gmlgnk) .

3.Доказать,что если матрица X = xmσm (3.9.3)представима в виде
Xαα˙ = ξαξα˙ , X† = X ,	(3.9.50) twist

то соответствующий4-вектор с координатами {xm} лежит на световом конусе xmxm = 0. Найти явное выражения для компонент xm через компоненты спиноров ξα и ξα˙ и доказать формулу xm = ξα˙ (˜σm)αα˙ ξα.

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20154 Мб25Gapochka_I_K_-_Ya_chitayu_po-russki_1999.pdf
#
01.04.202533 Кб0Gibridnoe_shifrovanie.docx
#
03.06.20155 Мб20Globalnie_gorizonti_RUS.pdf
#
01.07.2025709 Кб3gonki_na_treke.doc
#
27.03.20166 Мб320GRE_Math_Bible_eBook.pdf
#
03.06.20152 Мб157Group_theory_lecture.pdf
#
03.06.2015614 Кб22Groups-1.pdf
#
03.06.2015528 Кб21Groups-2.pdf
#
03.06.2015709 Кб26Groups-3.pdf
#
03.06.2015914 Кб62Groups-4.pdf
#
03.06.2015628 Кб45Groups-5.pdf