суммы этой последовательности, начиная с некоторой частной суммы. Поэтому в силу неотрицательности членов ряда все частные суммы рассматриваемой последовательности, начиная с этой частной суммы, отличаются от меньше, чем на .

Таким образом, абсолютно сходящийся двойной ряд с неотрицательными членами сходится при любом определении сходимости и его сумма равна – верхней грани значений частных сумм.

Поэтому, говоря об абсолютной сходимости ряда (15.9.1), не нужно указывать, какое определение сходимости двойных рядов имеется в виду.

Понятно, что для абсолютно сходящихся двойных рядов абсолютно сходятся и оба повторных ряда.

Заметим, что приведенные здесь утверждения об абсолютно сходящихся двойных рядах аналогичны теореме 15.5.4 о независимости сумм абсолютно сходящихся рядов от перестановок членов ряда.

Приведем еще следующую теорему сравнения.

Теорема 15.9.7. Если для всех , справедлива оценка | , | 6, , где – некотроая постоянная, и сходится ряд

∞∞

∑∑

, ,

=1 =1

то ряд

∞∞

∑∑

,

=1 =1

абсолютно сходится.

В заключение отметим, что по аналогии с двойными рядами рассматриваются ряды кратности > 2, члены которых зависят от индексов.

§ 15.10. Задачи и упражнения

∑

15.10.1. Докажите, что ряд сходится, если сходится ряд

∑ 2 2.

15.10.2. Докажите теорему Ласкера, согласно которой если

∑

ряд сходится и величины монотонно стремятся к нулю,

∞

∑

=1

с положительными членами сходится, то существует такая монотонно стремящаяся к +∞ последовательность { }, что сходится

ряд

∞

∑

.

=1

15.10.12. Докажите, что если числа монотонно возрастают

=1

существует такая строго возрастающая последовательность натуральных чисел 1 = 1 < 2 < · · · , что сходится ряд

∞ +1−1

∑ ∑

. (15.10.2)

=1 =

15.10.15.Докажите, что для каждой строго возрастающей последовательности натуральных чисел 1 = 1 < 2 < · · · существует условно сходящийся ряд (15.10.1), для которого ряд (15.10.2) расходится.

15.10.16.Докажите, что если произведение по Коши для двух сходящихся рядов сходится, то оно сходится к произведению сумм этих рядов.

15.10.17.Докажите, что произведение по Коши двух сходящихся рядов может расходиться.

15.10.18.Приведите пример двух расходящихся рядов таких, что их произведение по Коши сходится.

15.10.19.Просуммируйте методом средних арифметических ряды, члены которых представляют собой следующие повторяющиеся серии чисел:

a)1 − 1 + 0 + 1 − 1 + 0 + · · · ;

b)1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · ;

c)0 + 1 − 1 + 0 + 1 − 1 + · · · ;

d)1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + · · · .

15.10.20.Докажите, что если два ряда отличаются только конечным числом членов, то они

∙либо оба суммируются методом средних арифметических к одному и тому же значению;

∙либо оба не суммируются методом средних арифметических.

15.10.21.Докажите, что произведение по Коши двух сходящихся рядов суммируется методом средних арифметических.

15.10.22.Докажите, что если | | < 1, то

15.10.23. Докажите, что если | | < 1, то

∞

∏(1 + 2 ) = 1 −1 .

=1

15.10.24.Обязательно ли члены двойного ряда , стремятся

кнулю при , → ∞, если этот ряд

1)сходится по треугольникам;

2)сходится по кругам?

15.10.25.Обязательно ли члены двойного ряда ограничены в совокупности, если этот ряд

1)сходится по треугольникам;

2)сходится по кругам?

15.10.26.Найдите необходимое и достаточное условие сходи-

∑

мости по Прингсхейму двойных рядов вида .

15.10.27.Покажите, что из сходимости двойного ряда по треугольникам не следует ни сходимость по Прингсхейму, ни сходимость по кругам.

15.10.28.Покажите, что из сходимости двойного ряда по кругам не следует ни сходимость по Прингсхейму, ни сходимость по треугольникам.

15.10.29.Докажите, что сходиться при любой перестановке его членов может только абсолютно сходящийся ряд.

для всех x и всех > справедлива оценка

| (x) − (x)| < .

Таким образом, при поточечной сходимости для каждой точки x должно существовать свое , а в случае равномерной сходимости требуется, чтобы число было одним и тем же сразу для всех x .

Понятно, что если последовательность функций равномерно сходится на некотором множестве, то она равномерно сходится и на любом его подмножестве. Равномерно сходящаяся последовательность функций сходится и поточечно. Обратное утверждение, как было сказано выше, неверно.

Заметим, что равномерная сходимость последовательности функций { (x)} к функции (x) равносильна равномерной сходимости последовательности { (x) − (x)} к нулю.

Равномерную сходимость можно охарактеризовать в других терминах.

Множество всех ограниченных на функций обозначают( ), для функций ( ) величину

‖ (x)‖ = ‖ (x)‖ ( ) := sup | (x)|

x

называют чебышевской (равномерной) нормой. Понятно, что

0 6 ‖ (x)‖ ( ) < +∞.

Теорема 16.1.1. Для равномерной сходимости на множестве последовательности функций { (x)}, принадлежащих( ), к функции (x) необходимо и достаточно условие

Доказательство. Согласно (16.1.1) для каждого положительного существует такое = ( ), что при всех >

‖ (x) − (x)‖ ( ) < .

Значит, для всех точек x

| (x) − (x)| < ,

т.е. последовательности функций { (x) − (x)} равномерно сходится к нулю.

Необходимость следует из того, что если последовательность { (x)} сходится к (x) равномерно на , то для каждого > 0 существует = ( ) такое, что для всех x и всех >

| (x) − (x)| < 2 .

Поэтому

В терминах нормы это означает, что

‖ (x) − (x)‖ ( ) < .

Теорема доказана.

С помощью теоремы 16.1.1 легко убедиться, что последовательность степеней { } не сходится равномерно на отрезке [0, 1]. В самом деле, пределом последовательности { } при поточечной сходимости является функция

{

( ) = 0, если 0 6 < 1,

1, если = 1.

Но для каждого

‖ − ( )‖ ([0,1]) = 1,

а это показывает отсутствие равномерной сходимости.

Таким образом, последовательность функций может не сходиться на множестве равномерно, хотя она и сходится в каждой точке этого множества.

Теорема 16.1.2 (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций). Последовательность функций

{ (x)} равномерно сходится на множестве к конечной в каждой точке функции в том и только том случае, когда выполнено условие Коши, состоящее в том, что для каждого положительного существует число = ( ) такое, что для всех точек x и всех чисел , > справедлива оценка

| (x) − (x)| < .

Доказательство. Если последовательность { (x)} сходится к (x) равномерно, то необходимость условия Коши стандартным образом выводится из неравенства

| (x) − (x)| 6 | (x) − (x)| + | (x) − (x)|.

Не будем приводить детали этого рассуждения.

Докажем достаточность. Если выполнено условие Коши равномерной сходимости, то в каждой точке x согласно критерию Коши сходимости числовых последовательностей существует конечный предел

lim (x).

→∞

Обозначим его (x).

Согласно условию Коши равномерной сходимости для каждого положительного существует = ( ) такое, что для всех точек x и всех чисел , > справедлива оценка

| (x) − (x)| < 2 .

Из этого неравенства в пределе при → ∞ получаем для всех> и всех x оценку

| (x) − (x)| 6 2 < ,

которая показывает, что последовательность { (x)} сходится равномерно на множестве .

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь функциональные ряды, т.е. ряды вида

∞

∑

=1

где члены ряда – функции (x), вообще говоря, комплекснозначные, заданные на некотором множестве конечномерного евклидова пространства или комплексной плоскости.

Сходимость функционального ряда в точке определяется как сходимость последовательности его частных сумм в этой точке.