Глава 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе
§ 19.1. Класс функций
Ряды, которые теперь называют рядами Фурье, появились в начале XIX века как ряды по тригонометрической системе (18.2.1) в исследованиях Ж. Фурье уравнения теплопроводности, когда требуется найти функцию ( , ), для которой выполняется равенство
∂ ( , ) = 2 ∂2 ( , ) . ∂ ∂ 2
Основная задача при этом была в представлении функции в виде суммы тригонометрического ряда. В дальнейшем помимо этой центральной проблемы изучались и многие другие вопросы и к настоящему времени теория тригонометрических рядов стала одним из важнейших разделов математического анализа.
В этой главе будет рассматриваться класс функций, абсолютно интегрируемых по Риману в несобственном смысле на промежутке [ , ]. Этот класс обозначим [ , ].
Согласно определению несобственных интегралов, данному в § 9.10, в случае, когда [ , ] – конечный отрезок, функция[ , ], если [ , ] можно разбить на конечное число отрезков [ , ] таких, что интегрируема в собственном смысле на отрез-
ках вида [ + , − ], где > |
0, и для каждого |
существует |
|||||
конечный предел |
|
|
|
|
|
|
|
→+0 |
− |
| |
|
| |
|
|
|
∫ + |
( ) |
. |
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
||
Значение такого предела обозначают |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
| ( )| , |
|
(19.1.1) |
||||
179
180 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе
а сумму интегралов (19.1.1) по всем отрезкам [ , ], на которые разбит исходный отрезок [ , ], обозначают
∫
| ( )| .
Пусть теперь [ , ] – бесконечный промежуток, для определенности вся ось (−∞, +∞). Тогда (−∞, +∞), если для любого конечного отрезка [ , ] функция принадлежит [ , ] и существует конечный предел
∫
lim | ( )| ,
→−∞→+∞
значение которого обозначают
∫ +∞
| ( )| .
−∞
Понятно, что если [ , ], то существует несобственный интеграл не только от функции | ( )|, но и от функции ( ).
Ясно, что произвольная линейная комбинация функций из[ , ] принадлежит этому пространству, т.е. [ , ] – линейное пространство.
Если для функций [ , ] положить
∫
‖ ‖ := | ( )| ,
то ‖ ‖ будет удовлетворять всем аксиомы нормы, за исключением того, что из ‖ ‖ = 0 не следует ( ) ≡ 0.
Чтобы это свойство также имело место, не будем различать функции и из [ , ], если ‖ − ‖ = 0.
Более аккуратный подход состоял бы в том, что все функции из [ , ] разбиваются на такие классы, что функции и принадлежат одному классу, если ‖ − ‖ = 0. Тогда элементами пространства [ , ] были бы классы функций, для которых еще нужно определить сложение и умножение на числа так, чтобы выполнялись обычные свойства этих операций. Не будем останавливаться подробнее на этом вопросе, тем более, что указанное свойство в дальнейшем не будет играть существенную роль.
§ 19.1. Класс функций |
181 |
Легко убедиться, что функции из пространства [ , ] обладают следующим свойством.
Если отрезок [ , ] конечен, то для функции ( ) [ , ] и функции ( ), интегрируемой на [ , ] по Риману и такой, что | ( )| 6 , произведение этих функций принадлежит [ , ] и справедлива оценка
∫ | ( ) ( )| 6 ∫ | ( )| . |
(19.1.2) |
Подобное утверждение для бесконечного промежутка [ , ] формулируется так: если функция ( ) [ , ], а функция( ) на [ , ] локально интегрируема, т.е. интегрируема на любом конечном отрезке из [ , ], и | ( )| 6 для всех [ , ], то( ) ( ) [ , ] и справедлива оценка (19.1.2).
Согласно теореме 9.5.1 интегрируемые по Риману функции можно приблизить ступенчатыми функциями как угодно хорошо по норме пространства . Покажем, что таким свойством обладают и функции из [ , ].
Теорема 19.1.1. Если ( ) [ , ], то для каждого > 0 существует такая ступенчатая функция ( ), что
∫
| ( ) − ( )| < . |
(19.1.3) |
Доказательство. Если отрезок [ , ] конечен, то может иметь особенности только в конечном числе точек. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда функция имеет особенности только в концах отрезка [ , ], а на любом отрезке [ , ] ( , ) интегрируема в собственном смысле.
Для произвольного положительного возьмем такой отрезок
[ , ] ( , ), что
|
| ( )| + ∫ |
|
| ( )| < 2 . |
(19.1.4) |
|
∫ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Далее, пользуясь теоремой 9.5.1, находим ступенчатую функцию ( ), для которой
|
| ( ) − ( )| < 2 |
(19.1.5) |
|
∫ |
|||
|
|
|
|
182 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе
иполагаем ( ) = 0 на [ , ] [ , ]. Тогда оценка (19.1.3) вытекает из (19.1.4) и (19.1.5).
Если промежуток [ , ] бесконечен, сначала выбираем конечный отрезок [ , ] ( , ) такой, что справедлива оценка (19.1.4),
ипользуясь доказанным уже утверждением для конечных отрезков, находим ступенчатую функцию ( ), для которой выполнена оценка (19.1.5). Затем доопределив функцию ( ) нулем на [ , ] [ , ], получим оценку (10.1.3).
Теорема доказана.
Отметим, что если промежуток [ , ] бесконечен, то построенная в этом доказательстве функция ( ) финитна, т.е. равна нулю вне некоторого конечного отрезка. Поэтому функция ( ) принадлежит пространству [ , ].
Согласно теореме 9.5.2 каждую функцию, интегрируемую по Риману в собственном смысле, можно приблизить по норме пространства как угодно хорошо непрерывной функцией. Это верно и для функций из [ , ].
Теорема 19.1.2. Если ( ) [ , ], то для каждого > 0 существует непрерывная (финитная, если промежуток [ , ] бесконечен) функция ( ) такая, что
∫
| ( ) − ( )| < . |
(19.1.6) |
Сначала опираясь на теорему 19.1.1, приближаем ( ) финитной ступенчатой функцией ( ). Поскольку функция ( ) может иметь только конечное число точек разрыва и это разрывы первого рода, существует непрерывная функция ( ), которая хорошо приближает ( ).
Важную роль в дальнейшем будут играть следующие утверждения, доказательство которых опирается на теорему 19.1.1.
Теорема 19.1.3 (Лемма Римана). Для каждой функции ( ) из [ , ] справедливы предельные соотношения
→∞ |
|
(19.1.7) |
∫ |
||
lim |
( ) cos = 0 |
|
и |
∫ ( ) sin = 0. |
|
lim |
(19.1.8) |
→∞
§ 19.1. Класс функций |
183 |
Доказательство. Докажем (19.1.7). Если ( ) – характеристическая функция конечного отрезка [ , ], т.е. функция, равная 1 на [ , ] и равная 0 вне [ , ], то
|
|
cos = |
|
|
= (sin − sin ), |
||
∫ |
( ) cos = ∫ |
sin |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда следует (19.1.7) для характеристических функций отрезков. Следовательно, это равенство имеет место и для ступенчатых функций.
Произвольную функцию ( ) [ , ] приближаем финитной ступенчатой функцией ( ) и пользуемся оценкой
∫
( ) cos 6
6 |
|
[ ( ) |
|
( )] cos |
|
+ |
∫ |
( ) cos |
6 |
∫ |
− |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
6 |
|
|
| ( ) − ( )| + |
( ) cos . |
|
|
Отсюда в силу теоремы 19.1.1 и справедливости (19.1.7) для ступенчатых функций получаем (19.1.7) для произвольных функций из [ , ].
Доказательство равенства (19.1.8) аналогично. Теорема доказана.
Теорема 19.1.4. Если ( ) (−∞, +∞), то при → 0
+∞ |
|
∫−∞ | ( + ) − ( )| → 0. |
(19.1.9) |
Доказательство. Для ступенчатых финитных функций утверждение теоремы очевидно. Если – произвольная функция из (−∞, +∞), то для каждого > 0 существует ступенчатая функция ( ), для которой
∫ +∞
| ( ) − ( )| < .
−∞