184 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Пользуясь этой оценкой и неравенством

∫ +∞

| ( + ) − ( )| 6

∫ ∫

+ | ( ) − ( )| < 2 + | ( + ) − ( )| ,

−∞ −∞

приходим к (19.1.9). Теорема доказана.

Наряду с пространством [ , ] рассматривают пространства

[ , ] при > 1. Это – множество функций ( ), для которых

| ( )| [ , ].

В § 9.5 доказано, что функции, интегрируемые по Риману в собственном смысле, можно как угодно хорошо приблизить по норместупенчатыми функциями и непрерывными функциями. Аналогично доказательству теорем 9.5.1 и 9.5.2, можно установить подобное свойство о приближении по норме , > 1, а также следующее утверждение.

Теорема 19.1.5. Если ( ) [ , ], > 1, то для каждо-

го > 0 существуют финитные функции ступенчатая ( ) и непрерывная ( ) такие, что

∫ ∫

| ( ) − ( )| < , | ( ) − ( )| < .

§ 19.2. Коэффициенты Фурье по тригонометрической системе

Настоящая глава посвящена вопросам, связанным с представлением функций рядами по тригонометрической системе (18.2.1).

Все функции системы (18.2.1) имеют период 2 . Поэтому рядами по тригонометрической системе представляют функции, которые имеют период 2 .

Заметим, что при вычислении интегралов от 2 -периодических функций по промежутку длины 2 в качестве отрезка интегрирования можно брать произвольный отрезок длины 2 . Обычно берут отрезок [− , ] или [0, 2 ].

§19.2. Коэффициенты Фурье по тригонометрической системе 185

В§ 18.2 было доказано, что в пространстве 2 [ , ] тригонометрическая система ортогональна, а система функций (18.2.2) ортонормирована.

Если функция ( ) равна сумме ряда

который сходится к ней равномерно, то согласно теореме 16.5.2 равенство (19.2.1) после умножения его на произвольную непрерывную функцию можно почленно интегрировать. Это позволяет выразить коэффициенты и ряда из (19.2.1) с помощью интегралов от функции ( ).

Сначала проинтегрируем по периоду почленно само равенство

Умножим теперь равенство (19.2.1) на cos при натуральноми проинтегрируем по периоду почленно полученный ряд. В силу ортогональности тригонометрической системы

∫

= cos cos = .

−

Таким образом, при всех натуральных

188 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Используя для и формулы (19.2.3) и (19.2.4), находим

Такой интеграл называют сверткой функции с ядром Дирихле

.

Для ядра Дирихле при , не кратных 2 , справедливо пред-

( )

= sin + 12 .

Покажем, что поведение частных сумм ряда Фурье функциив точке зависит только от значений в малой окрестности этой точки.

Теорема 19.3.1 (Принцип локализации Римана). Сходимость или расходимость ряда Фурье в точке, а также значение суммы ряда, если он сходится, определяются значениями функции из как угодно малой окрестности этой точки.

Доказательство. Зафиксируем произвольное число , 0 << , и запишем частную сумму ряда Фурье в виде

Так как функция ( ) [− , ], то согласно лемме Римана при → ∞

( ) → 0.

Теорема доказана, так как в интеграле из (19.3.4) участвуют значения функции только из -окрестности точки .

Используя (19.3.4) видим, что если [− , ] и на некотором отрезке [ , ] функция ( ) равна нулю, то в любой точке интервала ( , ) ряд Фурье функции сходится к нулю, т.е. к значению функции в этой точке.

Поучительна следующая переформулировка теоремы 19.3.1.

Теорема 19.3.2 (Принцип локализации Римана). Если две функции ( ) и ( ) принадлежат пространству [− , ] и на некотором отрезке [ , ] их значения совпадают, то в каждой точке интервала ( , ) ряды Фурье функций и сходятся или расходятся одновременно, а если они сходятся, то к одному и тому же пределу.

Обратим внимание, что при выполнении условий теоремы 19.3.2 коэффициенты Фурье функций и при каждом cos и каждом sin могут значительно отличаться, поскольку в определении коэффициентов участвуют значения функций на всем периоде. Тем не менее, в точках интервала ( , ) частные суммы рядов Фурье этих функций ведут себя одинаково.

Установим признаки (достаточные условия) сходимости рядов Фурье в точке.

Теорема 19.3.3 (Признак Дини). Пусть [− , ]. Если при некотором для точки сходится интеграл

то ряд Фурье функции в точке сходится к .

Доказательство. Так как [− , ], то интеграл (19.3.8) может расходиться только из-за особенности при = 0, порожденной множителем 1/ . Таким образом, сходимость интеграла (19.3.8) определяется поведением функции вблизи точки , что согласуется с принципом локализации.

При [0, ] имеем sin /2 > / . Поэтому если сходится интеграл (19.3.8), то в силу оценки

1

| ( + ) + ( − ) − 2 |2 sin /2 6 6 | ( + ) + ( − ) − 2 |2

функция

1

| ( + ) + ( − ) − 2 |2 sin /2

принадлежит пространству [0, ].

поэтому сходимость ( , ) к вытекает из леммы Римана. Теорема доказана.

Признак Дини является весьма общим, но удобно иметь более простые для проверки, хотя и менее общие признаки.

Теорема 19.3.4. Если функция [− , ] и для точки при малых и некоторых положительных числах и выполняется неравенство

то ряд Фурье функции сходится в точке к значению ( ).

Доказательство. Если в некоторой окрестности точки выполнено условие (19.3.9), то при малых

| ( + ) + ( − ) − 2 ( )| 6 2 | | .

Отсюда в силу положительности следует сходимость интеграла (19.3.8) при = ( ) и, значит, согласно признаку Дини ряд Фурье функции сходится в точке к числу ( ).

Теорема доказана.

Отметим, что оценка (19.3.9) заведомо выполнена, если имеет в точке производную или хотя бы обе односторонние производные.

По аналогии с теоремой 19.3.4 можно установить достаточное условие сходимости ряда Фурье функции в точках разрыва первого рода.

Теорема 19.3.5. Пусть функция из [− , ] имеет в точке разрыв первого рода. Если существуют такие положительные числа и , что при малых положительных справедливы оценки

Покажем, что равенство (19.3.17) имеет место при всех , а не только при | | 6 . Для этого достаточно убедиться, что функция

является 2 -периодической.

Функция ( ) определена при всех , так как для , не кратных , бесконечное произведение сходится, а для , кратных , оно равно нулю.

Найдем сначала значение ( + ):