§ 17.5. B-функция |
143 |
§ 17.5. B-функция
B-функцией (читается бета-функция) называется функция
двух переменных |
|
|
|
B( , ) := ∫0 |
1 |
−1(1 − ) −1 , |
(17.5.1) |
где и положительны. При > 1, > 1 интеграл в (17.5.1) является собственным.
B-функцию называют функцией Эйлера первого рода, а - функцию – функцией Эйлера второго рода.
Интеграл из (17.5.1) сходится равномерно относительно и , удовлетворяющих условиям > 0 > 0, > 0 > 0. В этом легко убедиться с помощью признака сравнения, так как тогда при всех[0, 1] выполняется неравенство
−1(1 − ) −1 6 0−1(1 − ) 0−1.
Замена переменной интегрирования = 1 − в (17.5.1) приводит к равенству
B( , ) = B( , ).
При > 0, > 0
∫ 1
B( + 1, ) = (1 − ) −1
0
и с помощью интегрирования по частям находим
B( + 1, ) = |
− |
|
(1 − ) |
1 + |
1 −1 |
(1 − ) |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
∫0 |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
∫0 |
−1(1 − ) = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
= ( ∫0 |
1 |
|
|
(1 − ) −1 − ∫0 |
1 |
|
|||||||||||
−1 |
−1(1 − ) −1 ) = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
B( , ) − |
|
|
B( + 1, ). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
(1 + )B( + 1, ) = B( , ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
|||
и, значит, |
|
|
|
|
|
B( + 1, ) = |
B( , ). |
(17.5.2) |
|
|
|
|||
|
+ |
|||
Это равенство называют формулой приведения для B-функ- ции.
В силу симметрии B-функции имеем также
B( , + 1) = + B( , ).
Для натуральных и применив −1 раз формулу (17.5.2), в силу того, что (1, ) = 1/ , получаем
|
+ |
|
1 |
− |
|
· · · |
|
B( , ) = |
− 1 |
B( |
|
1, ) = |
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
( − 1)!
= ( + − 1)( + − 2) · · · ( + 1) B(1, ) =
= ( − 1)!( − 1)! . ( + − 1)!
Докажем подобное равенство для всех положительных и .
Теорема 17.5.1. При любых положительных и
B( , ) = |
( ) ( ) |
(17.5.3) |
( + ) . |
Доказательство. Сделаем в интеграле
∫ +∞
( + ) = + −1 −
0
замену = (1 + ) , где – новая переменная интегрирования, а – некоторый положительный параметр. Тогда получим
( + ) = (1 + ) + ∫0+∞ |
+ −1 −(1+ ) . |
||
Перейдем теперь в интеграле из (17.5.1) к новой переменной |
|||
интегрирования по формуле |
|
|
|
= |
|
. |
|
1 + |
|||
|
|
||
§ 17.5. B-функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145 |
Тогда |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
1 − = |
|
, |
|
|
= |
|
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 + |
(1 + )2 |
|
||||||||||||||
и таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
( |
|
|
) |
−1 |
( |
1 |
|
) |
−1 |
|
|
|
||||
B( , ) = ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
1 + |
|
|
1 + |
|
(1 + )2 |
||||||||||||
+∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(17.5.4) |
|||||||
|
(1 + ) + |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножим обе части этого равенства на ( + ): |
|
||||||||||||||||
|
|
+∞ ( + ) −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
B( , ) ( + ) = ∫0 |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
(1 + ) + |
|
|
|
|||||||||||||
= ∫ +∞( ∫ +∞ + −1 −(1+ ) −1 ) . |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.5.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если изменить здесь порядок интегрирования, получим
∫ +∞( ∫ +∞ )
( + ) B( , ) = + −1 −(1+ ) −1 =
00
∫ +∞ ( ∫ +∞ )
= −1 − ( ) −1 − =
00
∫ +∞ ( ∫ +∞ )
= −1 − −1 − =
00
=( ) ( ).
Таким образом, для завершения доказательства теоремы достаточно обосновать изменение порядка интегрирования в правой части (17.5.5).
Если > 1, то каждый из этих интегралов имеет особенность только в верхнем пределе интегрирования.
Чтобы говорить об интегралах, к которым легко применить теорему 17.3.4, докажем сначала, что
∫ +∞( ∫ +∞ )
+ −1 −(1+ ) −1 =
0 |
0 |
∫0 |
+∞ |
( ∫ |
+∞ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
= →+0 |
− |
|
− |
− |
|
(17.5.6) |
|||||
|
lim |
|
|
|
+ |
|
1 |
(1+ ) |
|
1 |
. |
|
146 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
|
Для этого введем функцию |
|
( , ) := ∫ +∞ + −1 −(1+ ) −1 |
и, чтобы воспользоваться теоремой 17.3.1, покажем, что интеграл
∫ +∞
( , ) (17.5.7)
0
сходится равномерно относительно , а функция ( , ) при → 0 сходится к (0, ) равномерно на каждом конечном отрезке изменения параметра .
Равномерная относительно сходимость интеграла (17.5.7) согласно признаку сравнения (теорема 17.2.2) вытекает из оценок
06 ( , ) 6 (0, )
исходимости интеграла
∫0+∞ (0, ) . |
|
|
|
||
Далее, если [0, ], то |
|
|
|
|
|
(0, ) − ( , ) = ∫0 |
+ −1 −(1+ ) −1 < |
||||
< −1 ∫0 |
|
6 −1 |
+ |
||
+ −1 |
|
, |
|||
+ |
|||||
и значит, ( , ) при → 0 сходится к (0, ) равномерно на отрезке [0, ].
Таким образом, равенство (17.5.6) обосновано. Докажем теперь, что
∫ +∞( ∫ +∞ )
+ −1 −(1+ ) −1 =
= ∫ |
+∞( ∫ +∞ + −1 −(1+ ) −1 ) . |
(17.5.8) |
|
0 |
|
Чтобы воспользоваться теоремой 17.3.4, убедимся в равномерной сходимости каждого из внутренних интегралов в (17.5.8) на
§ 17.5. B-функция |
147 |
произвольных конечных отрезках изменения параметров и соответственно.
Интеграл
∫ +∞
+ −1 −(1+ ) −1
сходится равномерно относительно [0, ] при каждом конечном , так как тогда
+ −1 −(1+ ) −1 6 + −1 − −1
и сходится интеграл
∫ +∞
+ −1 − −1 .
А интеграл
∫ +∞
+ −1 −(1+ ) −1
0
сходится равномерно относительно [ , ] при любом конечном, так как для таких
+ −1 −(1+ ) −1 6 + −1 − −1
и сходится интеграл
∫ +∞
+ −1 − −1 .
0
Наконец, интеграл
∫ +∞( ∫ +∞ |
) |
+ −1 −(1+ ) −1
0
сходится, так как
∫ +∞( ∫ +∞ )
+ −1 −(1+ ) −1 6
0
6 |
∫ +∞( ∫ +∞ + −1 −(1+ ) −1 ) . |
00
148 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
Следовательно, условия теоремы 17.3.4 выполнены и, значит, справедливо равенство (17.5.8).
Из (17.5.6) и (17.5.8) вытекает возможность изменения порядка интегрирования в интегралах из правой части равенства (17.5.5).
Таким образом, теорема доказана для > 1.
Освободиться от условия > 1 можно с помощью формул приведения. В самом деле, если > 0, то
B( , ) = |
+ |
B( + 1, ) = |
+ ( + 1) ( ) |
= |
( ) ( ) |
. |
|||
|
|
|
( + + 1) |
|
|
||||
|
|
|
|
( + ) |
|||||
Теперь теорема 17.5.1 доказана полностью.
Теорема 17.5.2 (Формула дополнения для -функции). Если 0 < < 1, то
( ) (1 − ) = sin . (17.5.9)
Доказательство. В силу (17.5.3) и (17.5.4)
( ) (1 − ) = ( , 1 − ) = ∫0 |
+∞ −1 |
||||||||
|
|
|
|
. |
|||||
1 + |
|||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 |
+∞ −1 |
|||||||
1 := ∫0 |
|
|
, |
2 := ∫1 |
|
|
|
||
|
1 + |
1 + |
|||||||
ирассмотрим сначала интеграл 1.
Всилу непрерывности интеграла как функции предела интегрирования имеем
1 |
= →+0 ∫0 |
1− −1 |
||
1 + . |
||||
|
lim |
|
|
|
Воспользуемся равенством
∞
1 = ∑(−1) , 1 +
=0
ряд в котором сходится равномерно на любом отрезке [0, 1 − ],
> 0.
§ 17.5. B-функция |
|
|
|
|
|
149 |
||
Используя почленное интегрирование, получаем |
|
|||||||
1− −1 |
1− ∞ |
|
|
|
||||
∫0 1 + = |
∫0 |
|
=0(−1) + −1 = |
|
||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
∞ |
|
= |
1 |
|
1 |
|
= |
|||
∫0 |
− |
−1 + ∫0 |
− |
=1(−1) + −1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
∞ ∫ 1−
∑
=(−1) + −1 =
|
=0 |
0 |
|
|
|
|
|
= |
∞ ( 1) |
+ |
1− = |
∞ ( 1) (1 − ) + . |
|||
|
=0 |
− |
+ |
0 |
=0 |
− |
+ |
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
Признак Лейбница (теорема 15.3.5) показывает, что ряд
∞
∑(−1) 1
+
=0
сходится. Значит, согласно второй теореме Абеля о степенных рядах (теорема 16.6.7) ряд
∞ |
( 1) (1 − ) + |
|
∑ |
− |
|
=0 |
+ |
|
|
|
|
сходится равномерно относительно [0, 1] и, таким образом,
1 |
= →+0 |
1− |
∞ |
|
|
|
− = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫0 |
|
=0(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
∑ |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
lim |
∞ ( |
|
1) (1 − ) + |
= |
|
∞ ( 1) |
1 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→ |
+0 |
=0 |
|
|
+ |
|
|
|
|
=0 |
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим теперь интеграл 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
С помощью замены = 1/ получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+∞ −1 |
|
|
0 1− |
(− |
|
1 |
) = ∫0 |
1 (1− )−1 |
|
||||||||||||||||||
2 = ∫1 |
|
|
= ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
1 + |
1 + 1/ |
|
2 |
|
1 + |
|||||||||||||||||||||
т.е. интеграл такого же вида, как 1. Поэтому |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ∞ |
|
(−1) |
|
= |
|
|
∞ |
|
( 1) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
∑ 1 − + |
|
−− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=0 |
=1 |