Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный торгово-экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

.pdf
Скачиваний:
148
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
7 Мб
Скачать
☆

249

Тоді

mv

2

 

 

 

 

 

 

mv dv dA d

 

 

 

dA

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(3.95)

– математичний вираз теореми в диференціальній формі.

Припустимо, що в момент t1 швидкість точки дорівнювала

момент t2

 

v2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

M

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

mv dv

 

dA .

 

 

 

v

 

 

 

 

M

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Після інтегрування отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

mv

2

 

mv

2

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

– вираз теореми в кінцевій формі.

v1 , а в

(3.96)

(3.97)

Скалярна величина

mv

2

 

2

 

, котра дорівнює половині добутку маси

точки на квадрат швидкості, називається кінетичною енергією точки.

Кінетична енергія точки є величиною додатною.

Висновок: Зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні дорівнює роботі рівнодійної сили на цьому переміщенні.

Розмірність кінетичної енергії

Система одиниць СІ:

mv2

 

 

м2

кг м2

кг м

 

 

 

 

1кг 1

 

 

1

 

 

1

 

 

м 1Н м 1Дж.

2

с

2

с

2

с

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

250

§ 13.6. Кінетична енергія механічної системи

Кінетична енергія механічної системи – це скалярна величина, котра дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій окремих точок, що складають систему:

 

 

m v2

 

 

2

 

 

T

 

k k

.

(3.98)

 

 

Для механічної системи, яка складається з декількох тіл, кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл:

T

 

k

T

.

(3.99)

Кінетична енергія системи не залежить від напрямку руху окремих її частин. На зміну кінетичної енергії механічної системи впливають як зовнішні, так і внутрішні сили.

Кінетична енергія твердого тіла як системи матеріальних точок – це одна із мір механічного руху, яка обумовлена рухом цього тіла. Визначимо кінетичну енергію для різних випадків руху твердого тіла.

а) Тіло рухається поступально

Нехай тіло масою М рухається поступально зі швидкістю v .

Це тіло можна розглядати, як систему матеріальних точок, сума мас

яких дорівнює масі тіла М:

 

M mk .

(3.100)

При

дорівнюють

поступальному русі швидкості усіх точок однакові і v . Тоді його кінетична енергія дорівнює:

T

m v2

 

mk v2

v2

mk

Mv2

 

k k

 

 

 

 

.

(3.101)

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

251

Кінетична енергія тіла, яке рухається поступально, дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості довільної точки або центра мас.

б) Тіло обертається відносно нерухомої осі

Швидкість кожної точки тіла vk rk , де rk

обертання, тоді кінетична енергія тіла дорівнює:

 

 

m v

2

 

 

m

2

r

2

 

 

2

 

 

 

T

 

k

k

 

 

k

 

k

 

 

 

 

m r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

Остаточно маємо

T I z 2 ,

2

– відстань точки від осі

 

I

 

 

 

 

 

 

2

.

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(3.102)

де

2

– осьовий момент інерції маси тіла, міра інертності тіла

I z mk rk

при обертальному русі.

Кінетична енергія тіла, яке обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю , дорівнює половині добутку моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості.

в) Тіло рухається плоскопаралельно

Плоскопаралельний рух тіла можна вважати у даний момент часу, як обертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей Р (рис. 3.22).

C

– центр мас тіла;

vc

– швидкість центра мас тіла;

I zc – осьовий момент інерції маси тіла відносно осі z, яка проходить через центр мас C перпендикулярно до площини руху;

I zp – осьовий момент інерції маси тіла відносно осі z, яка проходить через точку P .

252

Тоді

v

PC

c

 

Рис. 3.22

і кінетична енергія дорівнює:

 

I

 

 

2

 

I

 

 

 

 

 

2

 

T

zc

 

 

zc

M PC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mv

2

 

I

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

zc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

I

 

2

 

Mv

2

 

 

 

 

 

 

 

zc

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

.

;

(3.103)

Кінетична енергія тіла, яке рухається плоскопаралельно, дорівнює сумі енергій поступального руху зі швидкістю центра мас і обертального руху навколо центра мас.

§ 13.7. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної

системи

Припустимо, що матеріальна система складається з n матеріальних

точок:

m1,

m2 ,

...,

mn

– маси матеріальних точок;

v10,

v20

,

...,

vn0

– початкові швидкості кожної точки;

v1,

v2 ,

..., vn – кінцеві швидкості кожної точки;

253

F

e

,

 

1

 

F1in ,

F

e

, ...,

 

2

 

F2in , ...,

 

e

– рівнодійні зовнішніх сил, що діють на кожну точку;

 

Fn

 

 

 

in

– рівнодійні внутрішніх сил, як сили взаємодії

між

F

 

n

 

 

 

точками.

Для кожної точки системи можна записати теорему про зміну кінетичної енергії:

m v

2

 

m v

2

 

 

 

 

Ae

k

k

k

k 0

2

 

 

2

 

k

 

 

 

 

Ain

k

,

k 1,2,...,n ,

(3.104)

де

Ae k

– робота рівнодійної зовнішніх сил, які діють на k-ту точку;

in

– робота рівнодійної внутрішніх сил, які діють на k-ту точку.

Ak

 

Просумуємо рівняння (3.104) по всіх точках системи:

 

 

 

 

m v

2

 

m v

2

 

 

 

 

 

k

k 0

e

in

 

 

 

k

k

 

 

 

2

 

2

 

Ak

Ak .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишемо (3.105) більш компактно, позначивши:

m v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

k

T – кінцева кінетична енергія механічної системи;

k

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

T0 – початкова кінетична енергія механічної системи;

k

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

– сума робіт зовнішніх сил, що діють на систему;

Ak

in

 

– сума робіт внутрішніх сил, які діють на систему.

Ak

 

Остаточно вираз теореми має вигляд:

(3.105)

T T0 Ake Akin .

(3.106)

Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт на цьому переміщенні зовнішніх і внутрішніх сил.

254

Для незмінних механічних систем (деформації яких можна не враховувати) сума робіт внутрішніх сил дорівнює нулю: Akin 0 .

Тоді вираз (3.106) спрощується:

T T0 Ake .

(3.107)

Приклад

На рис. 3.23 зображений підйомний механізм лебідки. Вантаж А

вагою

P1

підіймається на тросі, який

 

перекинутий

через

блок С і

намотується на барабан В радіусом

r2

та вагою

P2 . До

барабана

прикладений обертальний момент, який з моменту включення лебідки

пропорційний квадрату кута повороту барабана:

M об k

2

, де

k

-

 

 

 

 

 

постійний коефіцієнт. Визначити швидкість вантажу А в момент його підйому на висоту h1 . Масу барабана В прийняти рівномірно розподіленою по його ободу. Блок С – суцільний диск вагою P3 . Массою траса – знехтувати. Рахувати, що в початковий момент часу система знаходилась у стані спокою.

Розв’язання

Дана задача розв’язується за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної системи:

T T0 Ake . Але на початку система перебувала у стані спокою,

тому T0 0 і рівняння буде мати вигляд:

T

 

 

k

 

A

 

 

e

.

(а)

255

 

 

Рис. 3.23

 

 

 

 

 

1 – вага вантажу;

2

– вага барабана;

2 – радіус барабана;

3

– вага блока

P

P

 

r

 

 

 

P

 

(суцільний диск);

r3

– радіус блока;

M об

k

2

– обертальний момент на

 

барабані; h1 – висота підйому вантажу; v0

0 – стан спокою.

 

Кінетична енергія матеріальної системи дорівнює сумі енергій тіл,

що складають систему:

 

 

 

 

 

 

 

 

T TA TB Tc .

 

 

 

(б)

Визначимо кінетичну енергію кожного тіла, виразимо її через задані параметри і шукану швидкість.

 

 

 

m v

2

 

P v

2

T

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

A

 

2

 

 

 

2g

 

 

 

 

 

 

– тіло рухається поступально;

 

 

I

T

 

 

2

2

2

 

 

B

 

2

 

 

 

 

– тіло обертається навколо нерухомої осі;

 

 

 

 

 

P r

2

I

 

m r 2

 

 

2

2

2

 

2

2

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– осьовий момент інерції тіла;

2 v1 – кутова швидкість, виражена через шукану швидкість v1 . r2

256

 

P r

2

v

2

 

P v

2

 

TB

 

 

 

 

.

2

2

 

1

2

1

 

 

 

 

 

2g r

 

2

 

2g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Аналогічно і для обертового тіла С:

TC

 

I

 

 

2

3

3

 

 

2

 

;

 

 

 

m r

2

I

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

P3r32

2g

;

3

v1 r3

;

 

 

P r

2

v

2

T

 

 

 

 

3

3

1

 

 

 

 

C

 

2 2g r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

P

v

 

 

2

3

1

 

 

4g

.

Підставимо значення кінетичної енергії в вираз (б):

 

 

 

 

 

P v

2

 

P v

2

 

P v

2

 

v

2

2P

 

T T

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

2P

A

1 1

2 1

3 1

1

 

B

C

 

2g

 

2g

 

4g

 

4g

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P3

.

де

Визначимо праву частину виразу (а) – роботу діючих сил і моментів:

 

 

e

 

A P

 

 

 

 

,

(с)

 

 

Ak

1

 

A Mоб

 

A P

P h

– (знак мінус показує,

що це робота сили опору,

коли

1

1 1

напрям сили і швидкості протилежні).

 

 

 

d

A M об M об d k

2

 

 

 

0

0

 

 

Підставимо роботу у вираз (с):

 

k

3

 

 

 

3

 

 

 

;

h1 r2

.

 

k

 

A

e

 

 

 

k

 

 

 

kh

 

 

3

 

 

3

 

P h

1

 

 

 

 

 

 

3

1

1

 

3

 

 

 

 

3r

 

 

 

 

 

2

P h

 

1

1

 

h

2

 

3P r

3

kh

 

1

1

 

1 2

 

 

3

 

 

3r

 

 

 

 

2

 

 

.

Підставимо сумарну кінетичну енергію і сумарну роботу у вираз (а):

v2

2P 2P P

h

kh2

3P r3

 

 

1

1

1

1 2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

4g

1

2

3

 

3r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Звідки шукана швидкість дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

gh kh2

3P r3

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

1

1 2

 

 

 

.

r 3r

2P 2P P

 

 

 

2

2

1

2

3

 

 

257

Запитання для самоконтролю

1.Що таке кількість руху матеріальної точки і системи, яка її розмірність?

2.Які міри руху існують в тілі, що рухається?

3.Як визначити імпульс змінної і сталої сили?

4.Сформулюйте теорему про зміну кількості руху матеріальної точки і системи.

5.Напишіть теорему про зміну кількості руху точки в диференціальній формі.

6.Сформулюйте закон збереження кількості руху матеріальної системи.

7.Запишіть вираз кінетичної енергії точки і системи.

8.Як визначається кінетична енергія тіл, що рухаються поступально,

плоскопаралельно і обертаються?

9.Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії точки і напишіть її вираз у диференціальній і кінцевій формах.

10.Яка розмірність кінетичної енергії?

11.Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи?

12.Запишіть теорему про зміну кінетичної енергії для деформованої механічної системи.

13.Запишіть теорему про зміну кінетичної енергії для незмінної механічної системи.

258

РОЗДІЛ 14

МЕТОД КІНЕТОСТАТИКИ

§ 14.1. Поняття про метод кінетостатики і силу інерції

матеріальної точки

Закони Ньютона стосуються руху тільки вільної матеріальної точки.

На невільну точку накладені обмеження у вигляді умов в’язі, які реалізуються за допомогою сил реакцій в’язей. Аксіома про звільненість від в’язей дає можливість звести будь-яку невільну точку до вільної, якщо

включити до числа активних сил реакції відповідних в’язей.

Тому метод кінетостатики (або принцип Д’Аламбера) еквівалентний основному закону динаміки і аксіомі про звільненість від в’язей. Цей метод ефективно використовується для розв’язування першої задачі динаміки невільної матеріальної точки, коли заданий закон її руху, а треба визначити шукану силу або реакцію в’язі, що обмежує рух точки в

певному напрямі.

Даний метод дозволяє для рухомих матеріальних об’єктів формально

застосовувати рівняння рівноваги.

 

 

 

Припустимо, що людина штовхає возик масою

m

з

силою F в

напрямку руху (рис. 3.24) і возик одержує прискорення

a .

Тоді, згідно

третьго закону механіки про дію і протидію, возик діє на руку людини з

силою Ф

 

 

 

, яка дорівнює F , але протилежна за напрямом прискоренню

возика a .

 

 

 

Рис. 3.24

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности