Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

405

k 1

Рис. 5.29

Переходимо до побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів. Балка має одну ділянку АВ довжиною l . Будуємо епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку x точку А .

406

Розглянувши рівновагу лівої частини балки, визначаємо функції М z ( x ) і Qy ( x ) на довжині 0 x l :

Для побудови епюри поперечних сил достатньо визначити ординати у двох характерних перерізах:

Враховуючи, що епюра згинаючих моментів має криволінійний закон зміни, для її побудови визначимо ординати в трьох поперечних

від’ємного в опорі В , а в центрі розподіленого навантаження дорівнює нулю. Згинаючі моменти, навпаки, в опорах А і В дорівнюють нулю і збільшуються в квадратичній залежності до максимального значення в центрі дії розподіленого навантаження (переріз С ).

408

§ 22.5. Нормальні напруження при згині

Розглянемо характер деформації балки, при чистому згині, коли до її кінців прикладені дві пари зовнішніх сил із моментами М (рис. 5.30).

При такій деформації балка вигнеться і можна спостерігати наступні особливості зміни розмірів і форми.

1. Плоскі поперечні перерізи балки a a , b b , … e e залишаться плоскими, але будуть повернуті один відносно одного на деякий кут.

2. Плоскі поздовжні перерізи a e , o o стануть викривленими по дузі кола з деяким радіусом. Це можна побачити, якщо нанести на бокові грані балки поздовжні лінії. При згині вони стануть кривими.

3. Верхні поздовжні волокна балки будуть стиснутими, а нижні розтягнутими. При цьому на якомусь рівні по висоті поперечного переріза буде знаходитись нейтральний шар (поздовжній переріз o o ), де волокна не змінять своєї довжини. Лінія перетину нейтрального шару і поперечного перерізу балки називається нейтральною лінією.

Рис. 5.30

410

Враховуючи те, що деформація волокна нейтрального шару відсутня,

відносне подовження довільного волокна можна знайти як:

Аналогічну залежність можна отримати для волокон, що знаходяться з протилежного боку від нейтрального шару і зазнають деформації стиску.

В цьому випадку будемо мати від’ємне значення .

Знаючи відносну деформацію, можна застосувати закон Гука і

Наведена залежність визначає лінійний закон розподілу напружень по перерізу балки в площині її згину. Тобто, нормальні напруження в поперечному перерізі вигнутої балки прямо пропорційні відстані від

точок, що розглядаються, до нейтральної осі.

Найбільшого значення нормальні напруження досягають в найбільше віддалених точках перерізу від нейтральної осі. Цілком зрозуміло, що для розтягнутих волокон це будуть напруження розтягу, а

напруження дорівнюють нулю (рис. 5.32).

Знаючи закон розподілення нормальних напружень, можна визначити їх значення в залежності від внутрішнього згинаючого моменту.

411

Рис. 5.32

Для знаходження зв’язку між нормальними напруженнями і внутрішніми силовими факторами в площі поперечного перерізу виділимо елементарну площу dA на відстані y від нейтральної осі x (рис. 5.32).

Тоді елементарна внутрішня нормальна сила, що діє на цій площі,

дорівнює:

Складемо рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, на яку діє зовнішній момент М і сума елементарних внутрішніх зусиль dN .

Інтегруючи dN по перерізу, отримаємо два рівняння рівноваги:

412

а це означає, що при згині нейтральна вісь проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Розглянемо друге рівняння рівноваги (5.51). Так як при чистому згині згинаючий момент в поперечному перерізі дорівнює зовнішньому моменту М z M , то

згинаючому моменту M z і обернено пропорційна жорсткості балки E I z ,

яка залежить від форми поперечного перерізу і матеріалу балки.

Так як для балки постійного поперечного перерізу при чистому згині

413

Тобто, у випадку чистого згину балки з постійним поперечним

В точках перерізу, найбільше віддалених від нейтральної осі (при

характеристикою (як осьовий момент інерції I z , статичний момент площі S z і т.п.).

Для балки прямокутного перерізу із шириною b і висотою h :

414

Рис. 5.33

Закон розподілення по перерізу нормальних напружень за формулою (5.56), дозволяє зробити висновок, що раціональними будуть ті перерізи, які мають найбільший момент опору при найменшій площі. До таких перерізів відносяться двотаври, таври, швелери, труби, в яких максимальне навантаження сприймають найбільше віддалені від нейтральної лінії шари матеріалу. Порівняно з ними балки із суцільним круглим і прямокутним перерізами менш доцільні з точки зору економії матеріалу в рівних умовах навантаження (рис. 5.33).

На завершення треба відмітити, що формула (5.56) виведена для