395
Рис. 5.24
В довільному перерізі на відстані |
x |
від точки B значення функцій |
Qy ( x ) і М z ( x ) будуть наступними: |
|
|
Qy ( x ) 0 |
(не залежить від x ), |
М z ( x ) М |
(не залежить від x ). |
В цьому випадку у всіх перерізах балки, поперечна сила дорівнює
нулю, тому що сума проекцій моменту пари сил на любу вісь дорівнює нулю. Згинаючий момент у цих перерізах має постійне додатне значення і дорівнює зовнішньому моменту.
Епюри поперечних сил і згинаючих моментів показані на рис. 5.24.
При такому навантаженні спостерігається чистий згин балки і, як видно із епюри, значення М z дорівнює також моменту в опорі балки.
Приклад
Консольна балка навантажена зосередженою силою прикладена до вільного кінця балки (рис. 5.25).
Рис. 5.25
Балка має лише одну ділянку АВ довжиною l . |
Будуємо епюри |
зправа наліво, взявши за початок відліку абсциси x точку |
В . |
Розглянувши рівновагу правої частини балки, визначаємо функції |
М z ( x ) і Qy ( x ) на довжині 0 x l : |
|
Qy ( x ) P (не залежить від x ), |
М z ( x ) P x . |
|
Як видно з рівнянь, поперечні сили мають постійне додатне значення на всій довжині балки, а функція згинаючого моменту М z ( x ) лінійна із
397
значеннями в характерних перерізах:
при x 0 (переріз B ): |
M B P 0 0 , |
при x l (переріз A ): |
M A P l . |
За отриманими даними будуємо епюри поперечних сил і згинаючих
моментів (рис. 5.25). Максимальним згинаючий момент буде в точці B .
Приклад
На консольну балку діє
навантаження інтенсивності |
q |
рівномірно розподілене по всій її довжині
|
Балка має одну ділянку АВ довжиною l . |
|
Будуємо епюри справа |
|
наліво, прийнявши за початок відліку x точку |
В . |
|
|
|
|
Розглянувши рівновагу правої частини балки, визначаємо функції |
|
М z ( x ) і Qy ( x ) на довжині 0 x l : |
|
|
|
|
|
|
Qy ( x ) q x , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
qx |
2 |
|
М z ( x ) qx |
|
. |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Тобто, поперечна сила Qy ( x ) змінюється |
за законом прямої, а |
згинаючий момент М z ( x ) – за законом квадратичної параболи.
Для побудови епюри поперечних сил достатньо визначити ординати
у двох характерних перерізах: |
|
|
при x 0 |
(переріз B ): |
QВ q 0 0 |
, |
при x l |
(переріз |
A ): |
QА q l . |
|
Враховуючи, що |
епюра згинаючих |
моментів має криволінійний |
закон зміни, для її побудови визначимо ординати в трьох поперечних перерізах:
при x 0 |
(переріз B ): |
M B 0 |
, |
За отриманими даними будуємо епюри поперечних сил і згинаючих моментів (рис. 5.26). Бачимо, що Qy ( x ) і М z ( x ) змінюються від нуля в перерізі B до максимального значення в перерізі А .
Перейдемо до розгляду балок, для яких при побудові епюр поперечних сил і згинаючих моментів без попереднього визначення опорних реакцій обійтись неможливо. Це балки на двох опорах.
Приклад
Двохопорна балка навантажена зосередженою силою прикладена між опорами (рис. 5.27).
Рис. 5.27
Спочатку визначимо опорні реакції.
n |
|
|
P |
|
|
m |
В |
|
k |
|
k 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
P |
|
|
m |
А |
|
k |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
0, |
R |
|
l P b 0, |
R |
|
|
Pb |
, |
|
A |
A |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
P a R |
|
l 0, |
R |
|
|
Pa |
. |
|
B |
B |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виконуємо обов’язково перевірку правильності визначення реакцій:
В даному випадку балка має дві ділянки |
АС |
і СВ |
із точкою С на їх |
границі. Будуємо епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку |
x |
точку А . |
|
|
|
|
|
|
|
Розглядаємо рівновагу лівої частини балки. |
|
|
На першій ділянці АС в межах значень |
0 x a |
для довільного |
переріза I I : |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Pb |
(не залежить від x ), |
|
Qy ( x ) RA |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Pb |
x . |
|
|
М z ( x ) RA x |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
однакові у всіх |
Тобто, на першій ділянці поперечні сили Qy ( x ) |
перерізах і дорівнюють додатному значенню реакції в опорі A , їх епюра |
має вигляд горизонтальної прямої. |
|
|
|
|
|
1 |
Епюра згинаючих моментів М z ( x ) |
змінюється за законом прямої із значеннями в характерних перерізах: |
при x 0 (переріз A ): |
M A 0 |
, |
|
|
|
|
|
при x a (переріз C
На другій ділянці переріза II II :
Q11( x ) R |
|
P |
Pb |
|
P P |
l b |
|
Pa |
(не залежить від |
A |
|
|
|
y |
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
Мz11( x ) RA x P( x a ) Pbl x P( x a )
Pl ( bx lx la ) Pl ( ax la ) Pal ( l x ).
В даному випадку функції |
11 |
11 |
( x ) простіше було визначати |
М z |
( x ) і Qz |
при побудові епюри на цій ділянці зправа наліво (тобто, при розгляданні рівноваги правої частини балки із застосуванням координати довільного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
401 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переріза x |
|
в напрямку від точки |
В |
до точки |
|
А ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
( x ) RB |
Pa |
(не залежить від x ), |
|
|
Qy |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
) RB x |
|
RB ( l x ) |
Pa |
( l x ) . |
|
|
( x |
|
|
|
|
|
|
М z |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Як бачимо, в обох випадках результат отримали однаковий. |
|
На другій ділянці поперечні сили |
|
|
|
11 |
( x ) |
також |
постійні за |
|
|
Qy |
величиною, але мають від’ємне значення реакції в |
опорі |
|
В . |
Згинаючі |
моменти |
|
М z11( x ) змінюється |
за |
|
законом |
|
|
прямої, |
значення |
яких в |
характерних перерізах дорівнюють: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результаті отримаємо епюри,
побачити, що при x a функція зовнішньої сили P , а функція М максимальне значення.
які представлені на рис. 5.27. Можна
Qy ( x ) |
має стрибок на величину |
z ( x ) в |
цьому перерізі має злам і |
Приклад
Двохопорна балка навантажена зосередженою парою сил, із
моментом М (рис. 5.28).
Спочатку визначимо опорні реакції.
n |
|
|
|
|
М |
|
mВ |
Pk 0, |
RA l М 0, |
RA |
|
, |
|
l |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
М |
|
|
mА |
Pk 0, |
М RB l 0, |
RB |
. |
|
|
|
k 1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виконуємо обов’язково перевірку правильності визначення реакцій:
Отримане від’ємне значення реакції RА вказує на те, що в дійсності вона направлена не вгору, як це було прийнято на початку розрахунків, а
вниз. Змінюємо напрямок |
RА |
на розрахунковій схемі балки на |
протилежний і приймаємо його значення додатним.
Рис. 5.28 |
|
Балка має дві ділянки АС і СВ із точкою |
С на їх границі. Будуємо |
епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку x точку А . |
Розглядаємо рівновагу лівої частини балки. |
|
На першій ділянці АС в межах значень |
0 x a для довільного |
переріза I I : |
|
М 1 |
( x ) R |
|
x |
М |
x . |
A |
|
z |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
другій ділянці СB в |
межах значень |
a x l для довільного |
II II : |
|
|
|
|
|
Q |
11 |
( x ) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
А |
М |
11 |
( x ) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
A |
|
Ml |
|
M |
x |
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
(не залежить від |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
x М |
М |
x М |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
M |
( l x ). |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічні результати отримаємо, якщо розглядати рівновагу правої частини балки і будувати епюру зправа наліво на цій ділянці:
Q |
11 |
( x ) R |
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
В |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
М |
11 |
( x ) R |
|
x |
М |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
В |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
M ( l x ). l
Із цих виразів видно, що поперечні сили Qy ( x ) у всіх перерізах балки на обох ділянках мають однакове від’ємне значення. Функція
згинаючого моменту |
М z ( x ) |
має лінійний характер і в характерних |
перерізах обох ділянок набуває наступні значення (при побудові епюри зліва направо):
на першій ділянці АС (0 x a )
при x 0 (переріз A ): |
M A 0 |
, |
при x a (переріз C ): M B Mal ,
на другій ділянці СB |
( a x l ) |
|
|
при x a (переріз С ): |
M С |
|
Мa |
М , |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
при x l |
(переріз B ): |
|
M B |
|
Мa |
( l l ) |
М 0 . |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
Епюри |
поперечних |
сил і |
згинаючих |
моментів, побудовані по |
отриманим значенням, показані на рис. 5.27. Бачимо, що функція Qy ( x )
являє собою пряму, яка паралельна поздовжній осі балки і дорівнює по величині від’ємному значенню опорних реакцій. Функція М z ( x ) в місці дії зовнішнього моменту М (при x a ) має стрибок на величину цього моменту. При цьому кут нахилу прямих, що обмежують епюру М z ( x ) до і після стрибка не змінюється (тобто ці прямі паралельні одна одній).
Максимальне значення епюра згинаючих моментів має в місці дії зовнішнього моменту.
Приклад
На двохопорну балку діє рівномірно розподілене по всій її довжині
навантаження інтенсивності q
Визначаємо опорні реакції балки. Для цього зводимо розподілене
|
навантаження |
до |
зосередженого ql , яке |
прикладене посередині його |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
розподілення |
|
,м |
, і з рівнянь рівноваги для всієї балки отримаємо: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
l |
|
|
ql |
|
|
mВ |
Pk 0, |
RA l ql |
0, |
RA |
, |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
l |
|
|
|
|
ql |
|
|
mА |
Pk 0, |
ql |
RB l 0, |
RB |
. |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отримані результати в даному випадку очевидні, так як зосереджене
