269
Розв’язання
G1 m1g - вага вантажу А,
G2 m2 g |
- вага вантажу В, |
|
G3 m3 g - вага шківа, |
|
|
|
|
I z m3r |
2 |
- осьовий момент інерції маси шківа, |
|
Ф1 |
m1a |
- сила інерції вантажу А, |
|
Ф2 |
|
m2a - сила інерції вантажу В, |
|
ф |
I z I z |
a |
m3r |
2 |
a |
m3ra - момент сил інерції шківа. |
M z |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо умовно прикласти до вантажів |
їх сили інерції, а до шківа |
момент сил інерції |
|
ф |
, то |
система буде |
в рівновазі і можна скласти |
M 3 |
рівняння рівноваги системи у вигляді суми моментів сил відносно точки О,
виключивши сили N1 і |
N2 , як внутрішні: |
|
|
|
|
m0 Фk m0 Pk m0 Rk 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
ф |
, |
|
|
|
|
Ф1r G1r Ф2r G2r M3 0 |
|
|
або |
m1ar m1gr m2ar m2 gr m3ra 0 |
, |
звідки, скоротивши на r, маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1a m2a m3a m2 g m1g , |
|
|
|
|
a |
g m2 m1 |
|
|
|
|
|
(прискорення вантажів). |
|
m m m |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Натяг тросу ліворуч:
N1' G1 Ф1 m1g m1a m1 g a .
Реакція опори шківа:
R0 N1 N2 G3 m1 g
Ф2 m2 g m2a m2 g a .
a m2 g a m3 g G1 G2 G3 a m2 m1 .
§ 14.5. Зведення сил інерції точок твердого тіла до центра.
Головний вектор і головний момент сил інерції
Тверде тіло – це механічна система матеріальних точок, у якій взаємне розташування точок не змінюється.
Головний вектор системи сил інерції окремих точок не залежить від вибору центра зведення і може бути обчислений заздалегідь:
Фк mk ak – сила інерції к-тої точки.
де M – маса тіла центра ваги тіла.
– прискорення центра мас системи або
ac ac acn .
Тоді Ф M ac acn M ac M acn Ф Ф n .
Головний вектор сил інерції тіла, яке рухається довільно, дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центра мас і спрямований протилежно вектору прискорення.
Головний момент сил інерції залежить від вибору центра зведення і визначається для окремих випадків руху твердого тіла.
271
а) Поступальний рух тіла
При поступальному русі тіла відсутнє обертання тіла навколо центра ваги (центра мас), тобто сума головного моменту активних сил і головного моменту реакцій в’язей відносно центра ваги (центра мас системи)
дорівнює нулю:
Але відомо, що згідно принципу Д’Аламбера, можна записати:
|
|
|
P |
R |
ф |
0 . |
|
|
|
M c |
M c |
M c |
Оскільки |
ф |
0 |
при поступальному русі тіла, |
M c |
момент сил інерції відсутній, то головний вектор рівнодійною сил інерції.
тобто головний сил інерції є
б) Обертальний рух тіла навколо нерухомої осі
Якщо тіло обертається навколо осі, то нормальні (відцентрові) сили
інерції не створюють моментів відносно осі (вони перетинають вісь обертання), а тангенціальні сили інерції створюють сумарний момент.
Як відомо, кожна точка mk обертового тіла, яка розміщена на деякій
відстані |
rk , створює елементарну тангенціальну складову сили інерції |
Фk mk rk , як добуток маси на тангенціальне прискорення.
Просумуємо цю силу по всіх точках тіла і отримаємо сумарну
тангенціальну силу інерції:
Ф |
|
|
|
. (3.124) |
|
Фk |
mk rk mk rk M rc Mac |
Тангенціальна сила інерції тіла прикладена в центрі мас тіла і спрямована протилежно тангенціальному прискоренню центра мас, що і підкреслює знак мінус у виразі (3.124).
Крім того, тангенціальні сили інерції точок створюють моменти відносно осі обертового тіла, оскільки вони перпендикулярні радіусам обертання, а тому радіус rk є плечем кожної сили. Просумуємо ці моменти по всіх точках тіла:
M zф M z Фk Фk rk mk rk rk mk rk2 I z .
|
|
ф |
I z , |
(3.125) |
|
|
M z |
де |
I z |
– осьовий момент інерції маси тіла відносно |
осі обертання, |
|
– кутове прискорення. |
|
|
Момент сил інерції обертового тіла дорівнює добутку моменту
інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення тіла.
Напрямок моменту інерціальних сил – протилежний напрямку кутового прискореня.
Головний момент сил інерції (3.125) виникає, як і головний вектор тангенціальних сил (3.124), тільки у перехідних режимах руху (розгін,
гальмування).
В деяких випадках головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції можна замінити однією силою – рівнодійною, прикладеною в центрі коливання k (рис. 3.30).
|
|
|
|
|
|
273 |
|
|
|
|
|
|
|
Приклад |
|
|
|
|
|
|
Стержень |
масою |
m |
і |
довжиною |
l |
обертається з кутовим |
прискоренням |
навколо осі |
z |
в точці О, яка перпендикулярна площині |
рисунка. Знайти точку пркладення рівнодійної головного вектора і головного момента сил інерції.
Розв’язання
Тангенціальна сила інерції дорівнює:
Момент сил інерції:
Тоді відстань від точки О до точки сила, виражається величиною
.
k , де прикладається сумарна
в) Плоскопаралельний рух тіла
Плоскопаралельний рух твердого тіла може бути розкладений на суму двох рухів: поступальний разом з полюсом і обертальний відносно полюса. За полюс, як правило, обирають центр мас точку С.
Припустимо що, стержень АВ масою m рухається у площині малюнка (рис. 3.31). При цьому центр С має прискорення ac , а кутове прискорення стержня - .
Тоді головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції відповідно дорівнюють:
де I zc – осьовий момент інерції маси стержня відносно осі z, яка перпендикулярна до площини руху і проходить через центр мас.
Рис. 3.31
Запитання для самоконтролю
1.Визначте поняття “сили інерції”.
2.Як формулюється принцип Д’Аламбера для матеріальної точки?
3.Якою є умова невагомості?
4.Який зв’язок між основними теоремами динаміки і силами інерції, а
також моментами сил інерції тіла?
5.Напишіть формулу зведеного моменту сил інерції тіла, що обертається навколо нерухомої осі?
6.Чому сили інерції вважаються фіктивними, а принцип Д’Аламбера -
формальним?
7.Як звести до рівнодійної сили інерції точок тіла, яке рухається поступально?
8.Як звести до відповідних силових факторів сили інерції точок тіла,
що обертається навколо осі, рухається плоскопаралельно?
ЧАСТИНА V. ОПІР МАТЕРІАЛІВ
РОЗДІЛ 19
ВИЗНАЧЕННЯ. ПОНЯТТЯ ПРО ВНУТРІШНІ
СИЛОВІ ФАКТОРИ
§ 19.1. Основні положення
Опір матеріалів – це наука про теоретичні і експериментальні методи дослідження елементів машин, конструкцій і споруд на міцність,
жорсткість і стійкість.
Під міцністю розуміють здатність матеріалу конструкції і її елементів витримувати прикладене певне навантаження без руйнування.
Розрахунки на міцність конструкції в опорі матеріалів дають можливість визначити оптимальні поперечні розміри її елементів, що витримують задане навантаження, при мінімальних витратах матеріалу.
Проте міцність конструкції ще не гарантує її надійність в цілому.
Конструкція може не руйнуватись, але деякі її елементи під дією зовнішнього навантаження можуть так деформуватись, що подальше її використання стає неможливим. Отже конструкцію необхідно розраховувати і на обмеження деформації, тобто проводити розрахунки на жорсткість.
Жорсткістю називають здатність елемента конструкції протидіяти зовнішнім силам з точки зору допустимих розмірів і форми, тобто деформації.
Деякі елементи конструкцій мають особливу форму і працюють під дією характерних навантажень, наприклад тонкі і довгі стержні при стиску.
Такі конструкції під навантаженням без будь – яких зовнішніх причин
343
раптово втрачають свою рівновагу (стійкість), викривляються і швидко руйнуються. При цьому втрата стійкості відбувається при навантаженнях,
значно менших від отриманих із розрахунків на міцність і жорсткість.
Тому такі конструкції та їх елементи необхідно спеціально розраховувати на стійкість.
Під стійкістю розуміють здатність елементів конструкції зберігати положення рівноваги під дією зовнішніх сил.
Отже, опір матеріалів надає загальні методики інженерних розрахунків несучих елементів машин, конструкцій і споруд на міцність,
жорсткість і стійкість для забезпечення їх надійної роботи при мінімальній матеріаломісткості.
Розглянемо поняття внутрішніх сил і пружної деформації.
Як відомо, довільне тіло складається з молекул і атомів, між якими існують сили взаємного притягнення і відштовхування. Внаслідок наявності цих сил тверді тіла намагаються зберегти свою форму як єдине ціле. При деформації тіла від зовнішніх навантажень (при зміні його розмірів і форми) в результаті зміни взаємодії частинок всередині тіла виникають сили, які протидіють цій деформації.
Сили зміни внутрішньої взаємодії між частинками тіла, що протидіють його деформації від зовнішнього навантаження і намагаються повернути його розміри і форму в початковий стан називаються
внутрішніми силами.
Деформація, яка повністю зникає після припинення дії зовнішнього навантаження, називається пружною. Деформація, що лишається після припинення дії зовнішніх сил, називається пластичною (або залишковою).
Виникнення значних залишкових деформацій, як правило, порушує нормальну роботу деталі чи елемента конструкції і тому в опорі матеріалів мають справу переважно із пружними деформаціями.
§ 19.2. Основні гіпотези і припущення в опорі матеріалів
Для спрощення розрахунків в опорі матеріалів приймають деякі гіпотези і припущення що до структури і властивостей матеріалів,
характеру деформацій, діючих сил і геометрії конструкцій.
1. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Тіло вважається суцільним,
(тобто неперервним) як до деформації, так і після деформації (без порожнин і розривів).
2.Гіпотеза про однорідність і ізотропність матеріалу. Вважається, що властивості тіла в будь-якій точці і в будь-якому напрямку однакові.
3. Гіпотези плоских перерізів. Плоскі перерізи, проведені в тілі до деформації, залишаються плоскими і після деформації. Вони залишаються нормальними до осі стержня в процесі деформації. Ця гіпотеза справедлива для тіл з довжиною, що перевищує його поперечні розміри
(стержень, брус).
4.Гіпотеза ідеальної пружності. Вважається, що матеріали мають властивість повністю відновлювати свою первинну форму і розміри тіл після припинення дії зовнішніх сил.
5.Принцип Сен-Венана. В точках тіла, достатньо віддалених від місця прикладання зовнішніх сил, внутрішні зусилля дуже мало залежать від способу прикладання цих сил. Такий принцип дозволяє замінити одну систему сил статично їй еквівалентною (переміщення сил з верхньої частини балки на нижню, заміна зосередженої сили на групу розподілених
інавпаки).
6.Принцип незалежності дії сил (суперпозиції). Ефект від суми впливу дорівнює сумі ефектів від окремого впливу. Згідно з цим принципом переміщення, внутрішні сили і деформації навантаженого тіла вважають незалежними від порядку прикладання сил.
