1.5.3. ЛОКАЛЬНА ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Ймовірність того, що в п незалежних випробуваннях успіх настане рівно т разів, дорівнює
|
|
|
|
|
|
P (m) = |
|
1 |
|
j( x), |
(1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де j(x) = |
|
|
e 2 , j( x) – парна функція. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||
2p
Значення функції j( x) наведені в таблиці додатка А, для x > 4, j(x) = 0.
x = m - np ;
npq
де р – ймовірність появи успіху в кожному випробуванні; q = 1 - p .
Приклад 1.18. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 40 % одержувачів анкет повертають їх назад. Яка ймовірність того, що рівно 80 сімей повернуть анкети, якщо опитують 200 сімей?
Розв’язання. За умовою n = 200, m= 80, p= 0, 4 , тоді q =1 - p = 0, 6;
x = |
m |
- np |
|
= |
80 - 200 ×0,4 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
npq |
200 ×0,4 ×0,6 |
|
|
|||
P |
(80) = |
|
|
1 |
|
j(0) = |
0,3989 |
= 0,0576. |
|
|
|
|
|
||||
200 |
|
200 |
×0,4 ×0,6 |
6,92 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
1.5.4. ІНТЕГРАЛЬНА ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Ймовірність того, що в п незалежних випробуваннях число успіхів
знаходиться між m1 і m2 дорівнює |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Pn (m1 £ m £ m2 )= Ф(x¢¢)- Ф(x¢), |
(1.19) |
|||||||||||
|
|
1 |
|
x |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
де Ф(x) = |
|
|
òe- |
|
dz, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ц(x) – непарна функція. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Значення функції Ц(x) наведені в таблиці додатка ,Бдля |
x ³ 5 |
|||||||||||||||
Ц(x) = 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x¢ = |
m1 |
- np |
; |
x¢¢ = |
m2 |
- np |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
npq |
npq |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
27
Використовуючи інтегральну формулу Муавра-Лапласа, можна одержати формулу
ì |
m |
|
ü |
|
||
Pí |
|
|
- p |
£ e ý |
= |
|
n |
||||||
î |
|
þ |
|
|||
де Ф(x) – функція Лапласа;
m – частота появи успіху; n
р – його ймовірність;
e – деяке додатне число.
æ
2Цçe
ç
è
n |
|
ö |
|
|
÷ |
(1.20) |
|||
|
||||
|
÷, |
|||
pq ø |
|
|||
Тобто ймовірність того, що за n незалежних випробувань за схемою Бернуллі абсолютне значення відхилення відносної частоти події А від ймовірності P = P (A) цієї події не перевищує числа e > 0 для випадку великих значень n.
Приклад 1.19. Ймовірність настання події в кожному із625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота настання події відрізняється від ймовірності за модулем не більше ніж на 0,04.
|
|
Розв’язання. За умовою n = 625; e= 0, 04; =p |
0,8; =q 0, 2. |
||||||
|
|
Підставивши ці дані в рівність (1.20), одержимо: |
|||||||
æ |
|
m |
|
|
ö |
æ |
|
ö |
|
|
|
|
625 |
|
|||||
Pç |
|
|
- 0,8 |
£ 0,04 |
÷ |
=2Фç0,04 × |
= |
÷ 2Ф=(2,5) |
2 ×0,4938 = 0,9876. |
|
|||||||||
è |
|
625 |
|
|
ø |
è |
0,8 ×0, 2 |
ø |
|
|
|
|
|
||||||
Питання для самоконтролю
1.У чому суть схеми Бернуллі? Записати формулу Бернуллі.
2.Записати формулу Пуассона. Коли вона застосовується?
3.Сформулювати локальну теорему Муавра-Лапласа.
4.Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа.
5.Записати формулу ймовірності відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях.
Вправи
1.Кредит споживачів. Банк видає кредитні карткиVISA. Було встановлено, що 40 % усіх рахунків оплачуються повністю за їх допомогою. З попереднього року вибрали навмання6 рахунків. Яка ймовірність, що 4 з них оплачені за допомогою картокVISA? не більше чотирьох?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
28
2.Ймовірність появи деякої події в одному випробуванні0,8. Яка ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія відбудеться:
а) 5 разів; б) 0 разів; в) 8 разів;
г) не менше 4 разів; ґ) більше 2 разів;
д) не менше 2-х, але менше 5-ти разів; е) принаймні один раз.
3.На складі є товари двох видів, причому товарів другого виду в2 рази більше, ніж першого. Знайти ймовірність того, що:
а) серед восьми навмання взятих товарів три виявляться першого виду;
б) серед п’яти взятих навмання товарів принаймні один виявиться другого виду.
4. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика 7 разів число 6 випаде хоча б при одному підкиданні.
5.Ймовірність влучення стрільця в десятку0,6. Чому дорівнює ймовірність того, що при 10 пострілах влучень у десятку буде:
а) 4 рази; б) 0 разів; в) 10 разів;
г) не менше 5 разів; ґ) не більше 8 разів; д) від 6 до 8 разів;
е) принаймні один раз?
6.Ймовірність появи подіїA в кожному з10 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найімовірніше число появи подіїA у 10 незалежних повторних випробуваннях.
7.Ймовірність появи подіїA в кожному з n незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки таких випробувань потрібно виконати, щоб найімовірніше число появи події A в цих випробуваннях дорівнювало 30?
8.Ймовірність виграшу при придбанні одного квитка 1з 000 дорівнює 0,4. Скільки потрібно придбати таких квитків, щоб принаймні один з них був виграшним?
9.Ймовірність виготовлення бракованої деталі0,2. Знайти ймовірність того, що серед 100 деталей бракованих буде:
а) 0; б) 10;
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
29
в) |
не менше 10; |
|
г) |
20; |
|
ґ) |
від 18 |
до 30; |
д) |
80; |
|
е) |
від 80 |
до 100. |
10.Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні 2 000 виробів буде пошкоджено:
а) 0; б) 5;
в) не менше 6; г) не більше 7; ґ) від 3 до 5.
11.Ймовірність появи події в кожному із 500 незалежних випробувань дорівнює 0,4. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхиляється від теоретичної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,05.
12.Ймовірність появи успіху в кожному з400 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти таке додатне число e, щоб з ймовірністю 0,9876 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи успіху від його ймовірності 0,8 не перевищувала e.
13.Скільки потрібно зробити дослідів з киданням монети, щоб з ймовірністю 0,92 можна було очікувати відхилення відносної частоти випадання “герба” від теоретичної ймовірностіp за абсолютною величиною менше ніж 0,001?
14.Скільки потрібно зробити дослідів з киданням грального кубика, щоб з ймовірністю 0,98 можна було очікувати відхилення відносної частоти випадання шістки від теоретичної ймовірності з абсолютною величиною менш ніж 0,02?
15.Два рівносильні гравці грають у шахи (нічиї до уваги не беруться). Що ймовірніше:
а) виграти дві партії з чотирьох чи три партії із шести; б) виграти одну партію з двох чи дві партії з чотирьох;
в) виграти не менше ніж дві партії з чотирьох чи не менше ніж три партії з п’яти?
16.Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменшу кількість випробувань n, за якої з імовірністю 0,99 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютним значенням не більше ніж на 0,04.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
30
17.При виготовленні деталей у цеху брак становить у середньому8 %. Скільки деталей має перевірити контролер, щоб ймовірність того, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від ймовірності р виготовлення такої деталі не перевищувала e = 0,002, дорівнювала 0,988.
18.Знайти середню кількість помилок на сторінці рукопису, якщо ймовірність того, що сторінка рукопису містить хоча б одну помилку, дорівнює 0,98.
19.Середня кількість викликів таксі, які надходять в диспетчерський пункт протягом хвилини, дорівнює три. Знайти ймовірність, що за дві хвилини надійде:
а) чотири виклики; б) менше чотирьох викликів;
в) не менше чотирьох викликів.
20.Для баскетболіста ймовірність влучити в корзину при одному кидку дорівнює 0,4. Зроблено 10 кидків. Знайти найімовірніше число влучень і відповідну ймовірність.
21.Ймовірність браку виробництва становить 15 %. Яке буде найімовірніше значення браку для 500 виготовлених деталей? Яка ймовірність того, що бракованих деталей буде від 150 до 300? рівно 220?
22.Менеджер встановив, що ймовірність бути нереалізованою для кожної одиниці продукції, що швидко псується, дорівнює 0,1. Скільки потрібно реалізувати одиниць продукції, щоб з ймовірністю 0,9544 можна було стверджувати, що відносна частота одиниці нереалізованої продукції відхиляється від постійної ймовірностір за абсолютною величиною не більше ніж на e = 0,03.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
31