Існують інші числові характеристики, такі як: мода й медіана.
Модою M 0 статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка має найбільшу частоту.
Увипадку дискретного варіаційного ряду мода може визначатись неоднозначно, тому говорять про одно- і багатомодальний розподіл.
Увипадку інтервального варіаційного ряду моду визначають таким
чином:
·праву вершину так званого модального прямокутника(прямокутник, що має найбільшу висоту) з’єднують із правим верхнім кутом попереднього прямокутника;
·ліву вершину модального прямокутника– із лівим верхнім кутом наступного прямокутника;
·абсциса точки перетину цих прямих є модою розподілу.
Медіаною me статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка ділить варіаційний ряд на дві частини, однакові за кількістю варіант.
Якщо число варіант дискретного статистичного розподілу вибірки непарне, тобто n = 2k +1 то me = xk +1 ; при парному n = 2k медіана
me = (xk + xk +1 ) / 2.
Визначення медіани інтервального варіаційного ряду за кумулятою:
·висоту найбільшої ординати, що відповідає загальній численності сукупності, ділять пополам;
·через отриману точку проводять пряму, паралельну осі абсцис, до її перетину з кумулятою;
·абсциса точки перетину є медіаною.
Приклад 3.3. Досліджувана ознака X – кількість працівників на підприємстві має розподіл, заданий таблицею 3.8. Обчислити числові характеристики випадкової величини X.
Таблиця 3.8
Кількість |
150 |
250 |
350 |
450 |
550 |
650 |
750 |
працівників |
|||||||
(xi, чол.) |
|
|
|
|
|
|
|
Кількість |
|
|
|
|
|
|
|
підприємств |
1 |
3 |
7 |
30 |
19 |
15 |
5 |
(ni) |
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Для розрахунку числових характеристик даного розподілу зручно скористатися таблицею 3.9.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
103
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3.9 |
|
Кількість |
|
|
|
|
Кількість |
|
|
|
|
|
|
xi ×ni |
|
|
|
(xi |
|
|
)2 ×ni |
xi2 ×ni |
|
||||||||
працівників |
|
|
підприємств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
x |
|
||||||||||||||
(xi, чол.) |
|
|
|
|
|
|
(ni) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
129 600 |
22 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
750 |
|
|
|
202 800 |
187 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
2 450 |
|
|
|
179 200 |
857 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
13 500 |
|
|
|
108 000 |
6 075 000 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
550 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
10 450 |
|
|
|
30 400 |
5 747 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
650 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
9 750 |
|
|
|
294 000 |
6 337 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 750 |
|
|
|
288 000 |
2 812 500 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Усього |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
40 800 |
|
|
|
1 232 000 |
22 040 000 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обчислимо вибіркове середнє: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
40 800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x = |
|
åxi |
× ni |
|
|
= |
|
510=(чол.) – середня кількість працівників |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на підприємстві. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Дисперсію розрахуємо двома способами – за формулами (3.19) та |
|||||||||||||||||||||||||||||
(3.20): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 232 000 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
DB |
|
= |
|
å(xi |
- x) |
|
ni - |
|
|
|
= |
15 400. |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
22 040 000 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
DB = |
|
|
|
åni xi2 - (x ) |
|
= |
|
|
|
|
- (510)2 =15 400. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обчислимо вибіркове середнє квадратичне відхилення: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sB = |
|
|
|
|
|
»124. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DB |
=15 400 |
|
|
|
|
|||||||||||
Таким чином, кількість працюючих на кожному підприємстві відхиляється від середньої кількості в середньому на 124 особи.
Розмах варіації дорівнює:
R = xmax - xmin = 750 -150 = 600 (чол.).
Розрахуємо коефіцієнт варіації V статистичного розподілу вибірки:
V = s B ×100 % = 124 ×100 % » 24,3 %. x 510
Як видно з розподілу, наведеного в таблиці 3.8, модою статистичного розподілу вибірки є M 0 = 450 , а медіана в даному випадку співпадає з модою.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
104