3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ

3.9.1.ФУНКЦІОНАЛЬНА, СТАТИСТИЧНА

ЙКОРЕЛЯЦІЙНА ЗАЛЕЖНОСТІ

Дві випадкові величини Y та X можуть бути пов’язані або функціональною залежністю, або залежністю іншого роду, що називається статистичною, або бути незалежними. Чітка функціональна залежність реалізується рідко.

Статистичною називають залежність, під час якої зміна однієї із величин викликає зміну розподілу іншої.

Зокрема, у випадку, якщо під час зміни однієї з величин зміню-

ється середнє значення другої, статистичну залежність називають кореляційною.

3.9.2. ВИБІРКОВИЙ КОЕФІЦІЄНТ КОРЕЛЯЦІЇ. КОЕФІЦІЄНТ ДЕТЕРМІНАЦІЇ

Кореляційний аналіз досліджує наявність і характер зв’язків між випадковими величинами X та Y – ознаками генеральної сукупності.

Підставою для аналізу залежності між випадковими величинами X та Y є дані вибірки, утвореної внаслідок незалежних спостережень над двовимірною величиною ( X , Y ).

Елементами вибірки є впорядковані пари чисел(xi , yi ), i =1, n,

де xi , yi - вибіркові значення ознак X та Y відповідно, що отримують у результаті i-го спостереження, n – обсяг вибірки. Вихідні статистичні дані, як правило, подаються у вигляді таблиці, рядки (або стовпці) якої закріплені за вибірковими значеннями ознак X та Y .

Якщо обсяг вибірки n достатньо великий, то статистичні дані групують.

Припустимо, що серед вибіркових значень ознаки X можна виділити m різних значень або частинних інтервалів, а серед вибіркових значень ознаки Y є k різних значень або частинних інтервалів. Потім переходять до побудови таблиці. У випадку дискретної випадкової

(xi , y j ) , становлять емпіричну (статистичну) структуру закону сумісно-

го розподілу випадкових величин X та Y . В останньому рядку (стовпці)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

123

таблиці записують частоти варіант xi ( y j ), які позначають через nxi (ny j ).

Частоти варіант пов’язані між собою співвідношеннями:

ктеризують емпіричні (статистичні) закони розподілу одновимірних випадкових величин X та Y .

Побудовану таким чином таблицю називають кореляційною. Якщо для побудови кореляційної таблиці замість варіант візьме-

мо частинні інтервали, то в кожному з них необхідно обрати свого “представника”, тобто середину відповідного інтервалу, тоді числа xi ( y j ) означають середини відповідних інтервалів.

Із теорії ймовірностей відомо, що ступінь зв’язку між випадковими величинами X і Y визначається такими числовими характеристиками їх сумісного розподілу, як коваріація cov( X , Y ) і коефіцієнт коре-

ляції r( X , Y ), які обчислюються за формулами:

cov(X ,Y ) = M (X ×Y ) - M (X )× M (Y );

cov(X ,Y )

r (X ,Y ) = s (X )×s Y( . )

Основне завдання кореляційного аналізу полягає у виявленні залеж-

ностей між випадковими величинами X та Y і може бути розв’язане шляхом побудови статистичних оцінок коефіцієнта кореляції.

Статистичну точкову оцінку для коефіцієнта кореляціїобчис-

люють за формулою:

Вибірковим коефіцієнтом кореляції називається статистична точкова оцінка r коефіцієнта кореляції між випадковими величинами

X і Y, яка обчислюється за формулою (3.39).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

124

r £1.

На практиці користуються також коефіцієнтом детермінації.

Коефіцієнтом детермінації називається квадрат вибіркового коефіцієнта кореляції (r2 ).

Приклад 3.11. За даними 20-ти туристичних фірм були встановлені витрати на рекламу xi (yм. од.) і кількість туристів yi (чол.), що скористалися послугами кожної фірми. Дослідити залежність між цими ознаками (у таблиці 3.10 подані дані, що проранжовані за величиною витрат на рекламу).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

125

Розв’язання. Із таблиці можна бачити, що взагалі збільшення витрат на рекламу призводить до збільшення кількості туристів, що користуються послугами фірми, хоча в окремих випадках наявність такої залежності може й не простежуватися. У кожному окремому випадку кількість туристів, що скористалися послугами фірми, залежатиме не тільки від розміру витрат фірми на рекламу, а й від того, як спрацюють інші фактори, що визначають цю величину.

Перевіримо наявність прямої залежності між досліджуваними ознаками.

Для цього обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції. Для його розрахунку складемо таблицю 3.10 і скористаємося формулою (3.39).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

126