5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей

Определение предела функции в точке. Пусть функция y = f (x)

определена в некоторой ε -окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 (в этом случае говорят, что функция определена в проколотой ε -окрестности точки x0 ).

Первое определение предела функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.

Число A называется пределом функции f (x), при x → x0 (или в точке

x − x0 <δ , x ≠ x0 выполнено неравенство f (x) − A <ε .

Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x) → A при x → x0 .

x→x0

Первое определение предела функции равносильно второму определению

(по Гейне, или «на языке последовательностей»), которое выглядит так.

Число A называется пределом функции f (x), при x → x0 (или в точке x0 ), если для всякой последовательности {xn } значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn ≠ x0 для любого n, соответствующая последовательность значений функции {f (xn )}сходится к A .

Пример 5.8. 1. Доказать, пользуясь определением по Коши, что число A = 7 является пределом функции y = 2x +1 при x →3.

2. Доказать, пользуясь определением по Гейне, что число A = 3 является

пределом функции f (x) = x2 − x −2 при x → 2 . x −2

183

Р е ш е н и е : 1) рассмотрим произвольное ε > 0 . Требуется найти для него такое число δ > 0 , что для всех x , таких, что x −3 <δ , x ≠ 3, было бы выпол-

184

тиворечие со вторым определением предела функции, следовательно функция

называется бесконечно большой при x → x0 (в точке x0 ), если для всякого числа M > 0 найдется такое число δ > 0 , что для всех x таких, что x − x0 <δ ,

Это и означает, что lim 2−x = 0 .

x→+∞

185

Свойства бесконечно малых функций.

1.Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций есть бесконечно малая при x → x0 функция;

2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция;

3.Функция y = f (x) является бесконечно малой при x → x0 тогда и

только тогда, когда y = f 1(x) – бесконечно большая при x → x0 ( 10 = ∞,

∞1 = 0).

Операции над пределами функций.

а) lim f (x) ± g(x) = A ± B ;

x→x0

б) lim cf (x) = cAдля любого c R ;

x→x0

в) lim f (x)g(x) = AB ;

x→x0

г) lim f (x) = A , если B ≠ 0. x→x0 g(x) B

3. Для всех основных элементарных функций в любой точке x0 их обла-

определяются неопределенности вида ∞∞, ∞−∞, 0 ∞, 00 , ∞0 , 1∞ .

Пример 5.11. Найти следующие пределы:

186

Здесь мы воспользовались теоремами об арифметических действиях над пределами и теоремой о пределе элементарной функции:

2) поскольку пределы числителя и знаменателя равны нулю, мы имеем дело с неопределенностью вида 00 . «Раскроем» эту неопределенность, т.е. из-

бавимся от нее, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на x −3:

3) опять имеем неопределенность вида 00 . Для ее раскрытия умножим

числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю и воспользуемся формулой разности квадратов:

4) числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие при x → +∞ функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида

∞∞. Поступая как при вычислении предела последовательности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x :

y =1−4cos x является ограниченной на всей числовой оси, а потому при ее умножении на бесконечно малую при x → +∞ функцию y = 2−x получим так-

187

рой проколотой ε -окрестности точки x0 , то A ≤ B .

2. Если предел функции в данной точке положителен (отрицателен), то и все значения указанной функции положительны (отрицательны) в некоторой проколотой окрестности этой точки (обратное, вообще говоря, неверно: напри-

мер, пределом последовательности с положительными членами xn = 1n является число ноль).

3. Пусть функции f (x), f1 (x), f2 (x) определены в некоторой проколо-

равен A (теорема о промежуточной переменной).

4. Если функция имеет предел в данной точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Задачи для самостоятельного решения

5.37. Пользуясь первым определением предела (по Коши), доказать, что:

5.38. Пользуясь вторым определением предела (по Гейне), доказать, что:

5.39. Доказать, что функция y = f (x) не имеет предела в точке x = x0 :

188

5.40. Доказать, что функция y = f (x) является бесконечно малой при x → +∞:

189