Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

515

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

1+ x + x

−

7 + 2x − x2

−

5.61. lim

.5.62.

lim

3x +17

2x +12

−2x

+8x +15

x→−3

x→−5

5.63. lim

(x −1)2

5.64.

lim

−2

2x2

− x −1

3x + 2

x→∞

x→∞ x2 −

5.65. lim

x4 −2x −1001

5.66.

lim

3x2

−2x3 − x +1

3x4 − x2

−1

4x3 +3x2 +7x −4

x→∞

5.67. lim

2x4

+3x2

+5x −6

5.68.

lim

(2x3 + 4x +5)(x2 + x +1)

+3x2

+7x

−1

(x + 2)(x4 + 2x3 +7x2 + x −1)

x→∞

5.69. lim(3

−3

lim(

−

5.70.

+ ax +b

x2 +cx + d

x +1

x→∞

5.71. lim(sin

−sin

5.72.

lim

+3 .

x +1

x→∞

x→±∞

−3

5.73. lim

1+7x+2

5.74.

lim

3 −7x

x→±∞

tg 2x

5.75. lim

5.76.

lim

2x2 −1

− x

x→±∞

x→ 4

ctg

5.77. lim

− x .

5.78.

lim

−

−3

5x2

5x −3

x→∞

5.4. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

lim sin x =1.

x→0

Второй замечательный предел:

lim

= lim(1+ y)

= e .

x→∞

→0

Пример 5.12. Вычислить следующие пределы:

1) lim sinαx

, α R ;

2) lim sin 2x ;

lim tg x

;

x→0

x→0 sin 3x

x→0

190

	arcsin x			cos x		3x + 2	5x−1
4) lim	x	;	5) lim		; 6)lim	3x +7	.
4) lim		;	5) lim	2x −π	; 6)lim		.
x→0			x→0	2x −π	x→∞
Р е шен и е : 1) имеем неопределенность вида						0 . Умножим числитель и
						0

знаменатель дроби на число α , чтобы воспользоваться первым замечатель-

ным пределом:

lim sinαx

= lim

α sinαx =α lim sinαx .

Произведя в послед-

x→0

αx

x→0

αx

нем выражении замену

y =αx,

получим α lim sinαx

=α lim sin y =α . Итак,

lim sinαx

x→0

αx

y→0

=α ;

x→0

2) опять имеем неопределенность вида

0 . Разделим числитель и знамена-

тель дроби на x , после чего воспользуемся результатом пункта 1) данного при-

мера: lim sin 2x

sin 2x

lim

sin 2x

= 2

= lim

x→0

;

sin 3x

x→0 sin 3x

x→0

lim

x→0

3) lim

tg x

= lim

sin x

= lim

lim

sin x

1 1 =1;

cos x

x→0

cos x x→0

4) сделаем замену arcsin x = y . Тогда x = sin y и y → 0 при x → 0, по-

этому lim

arcsin x

= lim

=1;

sin y

x→0

y→0

− x

−π

→ 0 при x →

5) замечая, что cos x = sin

= −2

− x

сделаем замену

− x = t ,

чтобы свести предел к первому замечательному:

cos x

sin t

lim

= lim

= −

;

2x −π

−2t

x→0

t→0

6) здесь имеет место неопределенность вида 1∞ . Сведем данный предел ко второму замечательному пределу:

191

3x + 2 5x−1

3x + 2

5x−1

3x +

2 −3x −7 5x−1

lim

= lim 1+

3x +7

−1

= lim 1

3x +7

x→∞

3x +7

→∞

x→∞

−5

5x−1)

3x+7

−5

(5x−1)

3x+7

(

−5

5x−1

−5

3x+7

−5

3x+7

= lim 1

= lim

3x +7

3x +

3x +7

x→∞

−5

Выражение

имеет

своим

пределом

ноль

при

x → ∞,

поэтому

3x +7

−5

3x+7

−5

−

25x +

−5

= e . Учитывая далее, что lim

(5x −1) = lim

lim 1+

3x +7

3x +

3x +7

x→∞

= −

3x + 2

5x−1

= e

−

окончательно получаем lim

3 .

x→∞

3x +7

Полезно помнить часто используемые следствия из обоих замечательных

пределов:

lim tg x

=1;

lim arcsin x =1;

lim arctg x =1;

x→0

lim

loga (1+ x)

= loga e , где a >

0 , a ≠1, в частности

ln a

x→0

lim ln(1+ x)

=1;

x→0

lim

ax −1

= ln a , где a > 0 , в частности lim

ex −1

=1;

x→0

а также

lim

(1+ x)m −1

= m .

x→0

Пример 5.13. Вычислить следующие пределы:

1) lim

ln(2 − x) −ln 2

;

2) lim

eαx −1

;

3) lim

eαx −e

βx

x→0

Р е шен и е : 1) для данной неопределенности вида 0

преобразуем выра-

жение, стоящее под знаком предела так, чтобы воспользоваться одним из следствий из второго замечательного предела:

192

2 − x

lim ln(2 − x) −ln 2 = lim

ln 1+

−

= lim

x→0

после чего, обозначая −

= t , получим равенства

ln 1+

−

ln(1+t)

lim

x→0

2 t→0

Таким образом,

lim ln(2 − x) −ln 2

= 1

;

x→0

2) lim

eαx −1

=α lim

eαx −1

αx = y

=α lim

ey −1

=α . Здесь мы

αx

y → 0

x→0

→0

также воспользовались одним из следствий из второго замечательного предела;

для

данной

неопределенности

вида

справедливы

равенства

lim eαx −eβx

= limeβx e(α−β ) x −1

= limeβx lim e(α−β ) x −1

Воспользовавшись далее

x→0

результатом

пункта

данного примера,

окончательно

получим

lim

eαx −eβx

=1 1 =1.

x→0

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы:

5.79. lim

sin x

;

5.80. lim

sin2 2x

;

tg9x

arcsin2 3x

x→0

5.81. lim

1−cos 2x ;

5.82. lim

1−cos6x

;

x→0

3x tg 3x

5.83. lim

1−cos5x

;

5.84. lim1+ xsin x −cos x

;

x→0

1−cos3x

x→0

sin2 x

−1

;

5.85. lim

;

5.86. lim

1+ xsin x

x→0

3 1+ x

−1

x→0

193

5.87. lim tg x −3sin x ;

x→0 x

5.89. lim1−6x ;

x→0 1−ex

5.91. lim sin 2x ; x→0 ln(1+ x)

5.93. limt(t		−1) , a > 0 ;
5.93. limt(t	a	−1) , a > 0 ;
t→∞

5.95. lim x +8 x ; x→∞ x −2

5.97. lim 2x2 +3 5x2 ; x→∞ 2x2 −3

1−x

5.99. lim(1−4x) x ;

x→0

5.101. lim x x−2 ; x→2 2

5.103. lim 3 +5x x ; x→0 3 + 2x

5.105. lim 3x2 −6x +7 −x+1 ; x→∞ 3x2 + 20x −1

5.107. lim(3x −1)[ln(x −3) −ln x];

x→∞

5.109. lim	ax −a		;
	x −1
x→1
5.111. lim	loga x −1			;
	x −a
x→a

5.113. lim	xx −1	;
	x ln x
x→1

5.88. lim lg(1+3x) ;

x→0 x

5.90. lim	8x		−7x		;
	6x		−5x
x→0
5.92. lim sin 3x −sin x							;
x→0		ln(x +1)

5.94. lim	6x		−3x		;
		x2	+ x
x→0
		3x −1			2 x
5.96. lim		3x +1				;
x→∞
	5x3 + 2					2 x3 −1
5.98. lim			5x	3			;
x→∞

5.100. lim x + a x+c ; x→∞ x +b

5.102. lim 2 x 1+3x ;

x→0

		5	− x x+2
5.104. lim		6		;
x→∞			− x
		1
5.106. lim			ln	2 + x	;
	2x			2 − x
x→0

5.108. lim x(ln(a + x) −ln x) ;
x→∞
5.110. lim ln x −1	;
x→e x −e

5.112. lim(1−sin x)sin x ;

x→0

5.114. lim(2 −cos x)cosec2 x ;

x→0

194

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб515сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016183 Кб236Сборник тестов(Логистика).doc