Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

515

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

5.115. lim cosαx −2cos βx , α ≠ β ;

x→0 x

		−2cos x
5.117. lim	2	−2cos x	;
5.117. lim	π −4x		;
x→π	π −4x
4

5.116. limtg	πx	sin	x −α	;
	2α
x→α		2

5.118. lim 1+ tg x sin x . x→0 1+sin x

5.5. Сравнение бесконечно малых

Пусть α =α(x) и β = β(x) есть бесконечно малые функции при x → x0 ,

т.е.	limα(x) = lim β(x) = 0. Для сравнения при x → x0					двух данных бесконеч-
	x→x0	x→x0			α(x) .
но малых функций находят предел их отношения lim
			α(x)	x→x0	β(x)
	1. Если lim			= 0 , то функция α(x) называется бесконечно малой бо-
		x→x0	β(x)
лее	высокого	порядка, чем β(x) при x → x0 .			В	этом случае пишут
α(x) = o(β(x)), x → x0				(читается: α(x) есть «о малое» от β(x) при x → x0 ).
	2. Если lim		α(x)	= C , где C – число, отличное от нуля, то функции α(x)
		x→x0	β(x)

и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x → x0 , в частно-

сти, если lim α(x) =1, то функции α(x) и β(x) называются эквивалентными

x→x0 β(x)

бесконечно малыми при x → x0 , что обозначается так: α(x) β(x), x → x0 .

Если lim	α(x)	= ∞, то это означает,	что lim	β(x)	= 0 .	Таким образом,
x→x0	β(x)		x→x0	α(x)
β(x) является	бесконечно малой более		высокого	порядка,		чем α(x) при

x → x0 , т.е. β(x) = o(α(x)).

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x → 0:

sin x x , tg x x , arcsin x x, arctg x x ;

loga (1+ x) lnxa = x loga e , где a > 0 , a ≠1, в частности ln(1+ x) x ;

195

ax −1 x ln a , где a > 0 , в частности ex −1 x ;

(1+ x)m −1 mx .

Кроме того,			имеет		место следующий факт: если				α(x) α1 (x) ,
β(x) β1	(x) при x → x0 ,			и существуют пределы limα(x)β(x) и lim						α(x)	, то
справедливы равенства								x→x0	x→x0	β(x)
справедливы равенства
lim	α(x)β(x) = limα1				(x)β(x) = limα(x)β1 (x) = limα1 (x)β1 (x) ,
x→x0			x→x0			x→x0		x→x0
lim	α(x)	= lim	α1 (x)	= lim		α(x)	= lim	α1 (x) .
lim	β(x)	= lim	α1 (x)	= lim		β1 (x)	= lim	α1 (x) .
x→x0	β(x)	x→x0	β(x)		x→x0	β1 (x)	x→x0	β1 (x)

Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую, или одну из них, заменить эквивалентной бесконечно малой.

Пример 5.14. Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и

β(x), если:

1)α(x) = x3 −6x4 +9x2 , β(x) = 5x4 − x2 , x0 = 0 ,

2)α(x) = xsin3 x, β(x) = 5x2 sin x, x0 = 0 ;

3)α(x) = (x −1)ln x , β(x) = (x −1)2 , x0 =1.

Ре шен и е : 1) найдем предел отношения

lim	α(x)	= lim	x3	−6x4 +9x2	= lim	x −6x2 +9	= 9. Предел отношения двух
	β(x)			5x4 − x2		5x2 −1
x→x0		x→0			x→0

данных бесконечно малых функций является числом, отличным от нуля, следовательно, α(x) и β(x) есть бесконечно малые одного порядка при x → 0;

2) поступая так, как в пункте 1), находим

lim

α(x)

= lim

xsin3 x

= lim sin2 x

1 lim sin x sin x =

1 0

= 0,

β(x)

5x2 sin x

x→x0

x→0

5 x→0

следовательно α(x) = o(β(x)) при x → 0;

3) имеет место цепочка равенств

lim

α(x)

= lim

(x −1)ln x = lim

ln x

= lim ln(1+(x −1))

=1,

β(x)

x→x0

x→1

(x −1)2

x→1 x −1

x→1

x −1

откуда следует вывод о том, что α(x) β(x) при x →1.

Пример 5.15. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, вычислить пределы:

196

1) lim

sin 2x

;

2) lim

ln(1+6x arcsin x)sin 5x

;

3) lim

ln(x2 )

5x −1

(ex −1) tg x2

4 −1

x→0

x→1

Р е шен и е : 1) поскольку sin 2x 2x , 5x

−1 x ln5 при x → 0, справед-

ливы равенства lim sin 2x

= lim

;

x→0 5x −1

x→0 x ln5

ln5

2) замечая, что 6x arcsin x → 0 при x → 0, получим цепочку эквивалент-

ностей: ln(1+6x arcsin x) 6x arcsin x 6x2 , а также sin 5x 5x , (ex −1) x ,

tg x2 x2

при x → 0, поэтому

lim

ln(1+6x arcsin x)sin 5x

= lim

6x2 5x

= 30;

(ex −1) tg x2

x x2

x→0

3) при x →1 имеем x2 −1→ 0, поэтому ln x2 = ln(1+(x2 −1)) x2 −1,

отсюда получаем равенства

lim

ln(x2 )

= lim

ln(1+(x2 −1))

= lim

x2 −1

= lim

−1

(x2 −1)(x2 +1)

−1)(x2 +1)

x2 +1

x→1

x→1 (x2

x→1

Задачи для самостоятельного решения

Сравнить бесконечно малые при x → x0

величины α(x) и β(x), если

5.119. α(x) = x2 sin2 x, β(x) = xsin3 x ,

x0 = 0 .

5.120. α(x) = x3 −4x , β(x) = x + x4 ,

x0 = 0 .

5.121. α(x) = (x −5)2 ,

β(x) = (x −5)3 , x0 = 5.

5.122. α(x) = sin(x −1)2 , β(x) = arcsin(x −1) , x0 =1.

5.123. α(x) =1−cos x

, β(x) =

= 0 .

5.124. α(x) = 4x

−1, β(x) = 5x −1,

= 0 .

Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

5.125. lim tg 6x .		5.126. lim	x arcsin3x				.

x→0	2x	x→0		5sin2 x
5.127. lim ln(1+ 2x) .					−2	.
		5.128. lim		x + 4

x→0	arcsin3x	x→0		sin 2x

197

cos 2x

−1

5.129. lim

cos x

x→0

sin2 2x

5.131. lim

tg x −sin x

x(1−cos 2x)

x→0

−2

5.133. lim

4 + x

x→0

3arctg x

5.135. lim lncosax .

x→0

lncosbx

5.137. lim

sin(ex−1 −1)

ln x

x→1

5.139. lim

(7x −1)(2x −1)

(4x −1)(3x −1)

x→0

5.141. lim

arctg2 3x ln(1− x3 )

tg9x(1−cos 2x)(ex

−1)

x→0

5.143. lim

ln(1

+ x −3x2 + 2x3 )

ln(1

+3x −4x2 + x3 )

x→1

−2

5.145. lim

8 +3x

+5x −2

x→0

5.147. lim ln(2 −cos 2x) .

x→0

ln2 (sin 3x +1)

5.149. lim(cos2x)x2 .

x→0

5.151. lim x	cos	x		.
x→0

5.130. lim1−cos3 x .

x→0 4x2

5.132. lim x(1− tg x) .

x→π4

5.134. lim lncos x . x→0 ln(1+ x2 )

5.136. lim

1+ x2

−1

1−cos x

x→0

−1

5.138. lim

1+sin 3x

x→0

ln(1+ tg 2x)

5.140. lim arctg(x −2) .

x→2

−2x

sin 3

ln(1+3x)

5.142. lim

x→0

(arctg

x)2 (e5

−1)

5.144. lim

+ x)3

−1

x→0

(1+ x)3 (1+ x)2 −1

5.146. lim

1+ x + x

−1

sin 4x

x→0

5.148. lim ln(1+ 2x −3x2 + 4x3 ) . x→0 ln(1− x + 2x2 −7x3 )

5.150. lim(cos x)x .

x→0

5.152. lim( 2 arccos x)1 .

x→0 π

198

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб515сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016183 Кб236Сборник тестов(Логистика).doc