5.6. Односторонние пределы

Определение левого и правого пределов функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 ,

т.е. на некотором интервале (x0 ; x0 +δ), где δ > 0 .

Первое определение односторонних пределов функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.

Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или пра-

восторонним пределом), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число δ > 0 , что для всех x таких, что 0 < x − x0 <δ ,

выполнено неравенство f (x) − A <ε .

Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x0 +0) = A .

x→x0 +0

Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или ле-

восторонним пределом), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число δ > 0 , что для всех x , таких, что 0 < x0 − x <δ ,

выполнено неравенство f (x) − A <ε .

Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x0 −0) = A.

x→x0 −0

Первое определение односторонних пределов функции равносильно вто-

рому определению (по Гейне, или «на языке последовательностей»):

Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или пра-

восторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn > x0 для любого n, соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A .

Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или лево-

сторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргу-

199

Пример 5.16. Найти односторонние пределы функций:

1)f (x) = x2 при x ≤1 при x →1;

− x при x >1

2)f (x) = x2 −4x + 4 при x → 2 ; x −2

200

ке ноль;

4)найдем левосторонний предел данной функции в точке x =1. Если

x →1−0, т.е. x стремится к единице, оставаясь меньше единицы, то выражение x −1 стремится к нулю, оставаясь при этом меньше нуля, поэтому дробь

201

5.7. Непрерывность и точки разрыва функции

Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется не-

прерывной в точке x0 , если:

limx x f (x) = f (x0 ) .

→ 0

202

ветствующее приращению аргумента ∆x , т.е. функция f (x) непрерывна в точ-

Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x) называется

непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точке x этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция y = f (x) называется не-

прерывной на отрезке [a b;], если она

1)непрерывна в каждой точке интервала (a b;);

2)непрерывна справа в точке a ;

3)непрерывна слева в точке b .

Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва делятся на точки разрыва первого и второго рода:

203

рыва. В этом случае, положив f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в точке x0 так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерыв-

ности).

Разность f (x0 +0) − f (x0 −0) называется скачком функции в точке x0 .

Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю;

2) точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или

бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и f (x0 +0) .

Свойства функций, непрерывных в точке.

2. Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) непрерывна в точке u0 = u(x0 ), то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 .

3. Все основные элементарные функции (c, xa , ax , loga x , sin x , cos x , tg x, ctg x, sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x) непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Из свойств 1–3 следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a b;]. Тогда

2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a b;] и при-

нимает на его концах значения различных знаков. Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 (теорема Больцано – Коши).

3. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a b;]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке (1-я теорема Вейерштрасса).

4. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a b;]. Тогда

штрасса).

204

Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что

Сравнивая полученные результаты, видим, что lim f (x) = f (x0 ) . Соглас-

x→x0

но определению это и означает непрерывность рассматриваемой функции в

точке x0 .

I I сп о со б . Пусть ∆x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем с о- ответствующее приращение функции:

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 3(x0 + ∆x)2 + 2(x0 + ∆x) −5 −(3x0 2 + 2x0 −5)=

= 6x0∆x +(∆x)2 + 2∆x = (6x0 + 2)∆x +(∆x)2 .

Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:

ность функции для любого x0 R .

Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

Р е шен и е : 1) областью определения данной функции является вся числовая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна. Раз-

рыв возможен лишь в точке x = 3, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:

205

Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 – точка

f(x) непрерывна справа;

2)функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x), разложив числи-

Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка устра-

нимого разрыва функции f (x) = x2 + 4x +3 . График функции представляет x +1

собой прямую y = x +3 с «выколотой» точкой M (−1;2). Чтобы функция стала непрерывной, следует положить f (−1) = f (−1−0) = f (−1+0) = 2 .

Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f * (x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞);

3)данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек x = 0, x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим точку x = 0.

Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает

Рассмотрим теперь точку x = 2 .

Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-

дущем случае, в точке x = 2 функция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода;

206

f (5 +0) − f (5 −0) = π2 −(−π2 ) =π (рис. 5.2).

у

π•

Задачи для самостоятельного решения

5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в

на всей числовой оси. Построить график этой функции.

ной в точке x = 0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x).

207

прерывной в точке x = 12 , но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции f (x).

5.178. Построить графики функций