Лекція №7. Неперервні функції. Гомеоморфізми.

1. Означення неперервної функції та її властивості

Нехай : EF (E, F- метричні простори з відповідними метриками )

Означення. Функція неперервна в точціЕ,якщо для така, що для будь-якого хЕ такого, що випливає, що .

Іншими словами це означення можна перефразувати:

Означення. Функція - неперервна в точці Е,якщо для будь-якої кулі у просторі F з центром в () існує куля у просторі Е з центром в, образ якої при відображенні міститься у першій кулі.

Означення. Для будь-якого околу точки () існує окіл Uточки , що (U).

Іншими словами: Прообраз при відображенні будь-якого околу точки () є околом точки . Крім того, функція : EFнеперервна на Е, якщо вона неперервна у будь-якій точці хЕ.

Приклад.

1. =const, : E F

2. Е = F = R₁ (x) = х - неперервна.

3. E = R² F = R_l (x,y) = x, (x,y) = у - неперервні.

Зауваження. В першому означенні використовується метрика, а в означеннях 2, З - тільки відкриті множини і околи.

Теорема. Для того, щоб відображення метричного просторуЕ на метричний простір F було неперервним, необхідно і достатньо, щоб прообраз при відображенні довільної відкритої множини F був відкритою множиною вЕ.

Доведення.

Необхідність: нехай відображення неперервне, аВFвідкрита множина і . Якщо А,то, так як відображення неперервне в і В - окіл (), то А – окіл . Тобто А - окіл кожної своєї точки, А - відкрита множина.

Достатність: нехай Еі V - окіл точки (). Тоді V містить відкриту підмножину В, що містить (). Прообраз - відкрита множина,окіл, що доводить неперервність.

Зауваження. Теорема справедлива, якщо замінити відкриту множину на замкнену.

Зауваження. Прообрази у теоремі не можна заміняти на образ. Наприклад, = const - неперервна функція, проте відкриту множину переводить в одну точку (замкнену множину).

Теорема. Норма в нормованому векторному просторі Е, яка розглядається як відображення зприродною метрикою, є неперервною функцією.

Доведення. Враховуючи нерівність маємо, щоз нерівностівипливає,

тобтонеперервна

Теорема. Композиція двох неперервних відображень - неперервна.

Доведення. Нехай : ЕF g : FG (E, F, G- метричні простори) і h =. Нехай - неперервна в довільній точціЕ, a g- неперервна в b = ()F. Візьмемо для с = h()=g(b) довільний окілWG.Так як g - неперервне відображення в b, то V=(W) окілb в F, а так як - неперервне в, то(V)=((W)) окіл . З того, щовипливає неперервністьh в , а отже, і в E.

2. Гомеоморфізми.

Означення. Гомеоморфізмом метричного простору Е на метричний простір F називається бієкція Е на F, неперервна разом зі своєю оберненою функцією.

Теорема. Для того, щоб бієктивне і неперервне відображення : ЕFбуло гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при відображенні кожної відкритої множини ізЕ був відкритим в F. (Аналогічно із замкненим).

Метричні простори Е і F гомеоморфні, якщо існує хоча б один гомеоморфізм просторів Е і F. У цьому випадку обидва простори мають однакові топологічні властивості, тобто властивості, що стосуються відкритих, замкнених множин та околів.

Приклад. .