Елементи топології. Лекція №6. Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.

1. Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.

Означення. На множині Е задана метрика : якщо визначена функція

: і виконуються умови:

1. ,

2. ,

3.

Пара називається метричним простором.

Приклади.

1.

2. - евклідова метрика, або природня метрика (приклад 1 маємо при);

3. Е – довільна множина, (дискретна метрика);

4. Метрика фізичного простору-часу.

Означення. Сферою з центром радіуса R > 0 називається множина

Означення. Відкритою (замкнутою) кулею з центром радіуса R>0 називається множина

Приклади.

1. R: куля – інтервал (-R, +R).

2. R²: куля – звичайне коло з центром у відповідній точці радіуса R.

Означення. Підмножина А Еметричного простору (Е,)називається обмеженою, якщо існує куля в якій вона міститься.

Приклад.

Множина R і NRне обмежені у метриці приклада 1. Але якщо метрика дискретна, то обмежені.

2. Нормовані простори.

Нехай Е - векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел.

Означення. Нормою у векторному просторі Е називається будь-яка функція , для якої виконуються умови:

1.

2.

3.

Означення. Якщо у векторному просторі Е задана норма, то Е - нормований векторний простір.

Приклади.

1. 2..

3. 4.

5.ЯкщоЕ - нормований простір, то в ньому можна визначити відстань Де задовольняє умовам: і. Навпаки, якщо задовольняє зазначеним властивостям, то відстань задається нормою . (Довести самостійно)

В інших випадках у метричному просторі відстань не обов'язково задається нормою. В нормованому просторі куля і сфера з центром в мають вигляд і .

Означення. Відрізком з кінцями іb у векторному просторі називається множина усіх точок виду t+(1-t)b,і позначають.

3. Відкриті, замкнені множини. Замикання.

Означення. Підмножина А метричного простору називається відкритою, якщо разом з кожною своєю точкою вона містить деяку відкриту кулю з центром у цій точці.

Приклад.

1. Довільний інтервал, якщо .

2. Якщо E=R² - прямокутник без границь.

3. Відкриті кулі у довільному метричному просторі

Властивості відкритих множин:

1. Множини Е і Ø - відкриті.

2. - відкрите, якщо A_і відкриті.

3. - відкрите, якщоА_і відкриті.

Доведемо властивість 2. (Доведення 1, 3 самостійно). Нехай тодідля всіх і=1,…, n. При кожному іОтже- куля з центромрадіусаі. Таким чином оскількидовільна точка,- множина відкрита.

4. Аксіома Хаусдорфа. Для будь-яких і bіснує дві відкриті непересічні підмножини А, В, що включаютьі b відповідно.

Дійсно, А =А, В -відкриті і не мають спільних точок, в протилежному випадку, якщо , що невірно.

Означення. Множина В - замкнена в Е, якщо Е \ В = СВ — відкрита.

Приклади.

1. .

2. .

3. Замкнена куля у довільному метричному просторі.

4. Скінчена кількість точок у довільному метричному просторі.

Властивості замкнених множин.

1. Множини Е, Ø - замкнені;

2. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

3. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

Доведення провести самостійно.

Зауваження. Існують підмножини, що не є ні замкненими ні відкритими.

Наприклад:

Означення. Околом точки Еназивається довільна підмножина Е, яка містить точку разом з деякою відкритою кулею з центром в .

Теорема. Для того, щоб підмножина А простору була відкритою необхідно і достатньо, щоб вона була околом кожної своєї точки .

Доведення. Нехай А - окіл кожної своєї точки. Тоді разом з точкою А містить кулю з центром в . Тоді, А - відкрита множина. Навпаки, якщо А - відкрита множина і А, тоіснує відкрита куля з центром в , який міститься в А, значить, А - окіл точки .

Означення. Замиканням підмножиниА називається перетин усіх замкнених підмножин Е, які містять А.

- замкнена (за властивістю замкнених множин).

- мінімальна замкнена множина, що містить А.

Приклад: .

Означення. Точка Еназивається граничною точкою підмножини А, якщо у будь-якому околі точки є точки множини А, відмінні від .

Теорема. Замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Доведення. Нехай - гранична точка для множини В. Припустимо, що -відкрита множина. Тоді існує відкрита куля з центром в , що належить СВ, тобто не має спільних точок з В. Прийшли до суперечності, отже, замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Теорема. одержується з А шляхом приєднання до А її граничних точок. (Доведіть самостійно)

Нижче - множина граничних точок множини А.