Практичне заняття №11 Тема: Границя функції
Основні відомості:
Визначення границі функції по Коші та Гейне.
Визначення границь у випадках коли гранична точка скінчена та
іграниця
дорівнює
скінченому
числу,
.
Основні властивості границь функцій.
Границя складної функції.
Задачі:
Довести за означенням:
1.1.
1.2.Довести, що
границя не існує
1.3. Довести, що якщо
з будь-якої послідовності
,
яка збігається до точки
, можна вибрати
послідовність
,
для якої
,
то
.
1.4. Довести, що
монотонна функція, задана на відрізку
має скінчену
границю в будь-якій точці
.
Обчислити
границі, використовуючи основні
властивості границь:
2.1.
2.2.
2.3.
;
2.4.
Завдання для самостійної роботи.
Довести:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. Довести, що
границя не існує:
.
10. Довести, що
границя не існує:
11. Нехай
(х)
визначена на
[0;+
)та
обмежена на будь-якому відрізку [0;М]
М
.
Якщо існує скінчена
границя
то
(х)
обмежена на
[0;+
).
Обчислити границі:
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25. Знайти
і
з умови
.
Практичне заняття №12 Тема: 1а, 2а чудові границі.
Основні відомості: Види 1-ї та 2-ї чудових границь.
Задачі:
Обчислити, використовуючи першу чудову границю:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Обчислити, використовуючи другу чудову границю:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4. 
Обчислити за допомогою полярних та сферичних координат
3.1. 
3.2.
3.3.
Завдання для самостійної роботи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27. 
28.
Практичне заняття №13 Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація.
Основні відомості: 1.Визначення неперервності функції в точці.
2.Властивості неперервної функції в точці.
3.Розриви.
4. Класифікація розривів.
Задачі
1.1.Довести
неперервність в кожній точці за
означенням:
.
1.2.Функція
(х)
неперервна в
точці х0
та в будь-якому
околі цієї точки є як значення х
, в яких функція
додатня, так і значення x,
в яких функція
від'ємна. Знайти
(х0)
.
1.3.Довести, що якщо
(х)
- неперервна
функція, то F(х)
=
є
також неперервна
функція.
Дослідити на неперервність та зобразити графічно і з'ясувати характер розриву.
2.1.
2.2.
2.3. Довести, що
функція
та розривна в інших точках.
2.4.
2.5.
Завдання для самостійної роботи.
Довести неперервність в кожній точці за означенням.
1. y=2x-1
2. y=
3.
4. y=x3
5. y=cosx
6. Нехай
неперервна в
точці xо
та
(х0)
0 . Довести, що існує числоc>0
і окіл точки х0
такі, що для будь-якого x
з цього околу справедлива нерівність
.
Визначити
точки розриву функцій та дослідити
характер цих точок.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Чи існує
при якому функція
неперервна.
14.
15.
16.
Чи існують
та
при яких
неперервна
17.
18.
19.
Функція
неперервна в точці х0,
а функція g
розривна в
точці х0.
Довести, що функція
+g
розривна
в цій точці.Довести, що якщо у =
(х)
- неперервна
функція, то у
=
(х)
неперервна.Нехай
(х) неперервна функція. Чи завжди існують
неперервніg(х)
та h(х)
такі, що
для
всіх х
(х)
=g(х)sin
х + h(х)
соs
х .Нехай
(х)
- неперервна на проміжкуX.
Довести, що
функції
неперервні
на Х.
Чи можливо стверджувати, що квадрат розривної функції є також розривна функція. Побудувати приклад.
Довести, що якщо функція монотонна, то будь-яка її точка розриву є точка розриву першого роду.
26.
27.
28.
