2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в r1. Повнота r1, Rn.

Для R¹ з попередньої теореми маємо:

Теорема (Критерій Коші). Для того, щоб {} мала кінцеву границю необхідно і достатньо, щоб .

Аналогічна властивість справедлива в Rⁿ.

Критерій Коші для границі функції:

Теорема. Нехай ():R¹R¹, тоді для того, щоб вона мала границю при необхідно і достатньо, щоб

Доведення провести самостійно.

Аналогічна властивість справедлива для():RⁿR¹ (сформулювати самостійно).

3. Теорема про нерухому точку.

Означення. Відображення , де Е - метричний простір, називається стискаючим відображенням, якщо що для.

Наприклад: гомотетія з коефіцієнтом k < 1.

Легко бачити, стискаюче відображення - рівномірно неперервне відображення.

Означення. Точка називається нерухомою точкою, якщо.

Теорема. Кожне стискаюче відображення повного метричного простору в себе має нерухому точку, і до того ж єдину.

Доведення. Покажемо єдність: нехай такі, що ,- це можливе коли (оскількиk<1).

Покажемо існування нерухомої точки. Нехай довільна точка . Покладемо

,… . Покажемо, що {} - послідовність Коші.

Припустимо, що . Тоді

. Отже при, так як

Таким чином, {} - послідовність Коші і значить прямує до деякого . В силу неперервності() отримуємо: , тобто- нерухома точка.

Зауваження. Оцінка дає швидкість збіжностідо.

Практичне заняття № 16 Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.

1. Повні простори. Ознака Коші.

1.1. Довести що збіжна послідовність є послідовністю Коші.

1.2. Послідовність Коші у метричному просторі обмежена.

1.3. Довести повноту за означенням.

1.4. Довести ознаку Коші для границі функції.

1.5. За ознакою Коші довести, що послідовність збіжна:

1. 2..

2. Теорема про нерухому точку.

2.1. Довести, що стискаюче відображення - рівномірно неперервне.

2.2. Довести, що рівняння на відрізкумає тільки один корінь.

2.3. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості послідовним наближенням.

2.4. Нехай , за теоремою про нерухому точку, довести що існуєі знайти його.

Завдання для самостійної роботи

1. Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.

2. Розглянемо метричний простір . Довести, за означенням, що Е не є повним.

3. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

4. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

5. Нехай А і В – повні підпростори метричного простору Х. Довести, що - повні.

6. Нехай Х і Y повні метричні простори з метриками івідповідно. Довести, щоз метрикоютеж повний простір.

7. Довести, що рівняння на відрізкумає тільки один корінь.

8. Нехай . Довести за допомогою теореми про нерухому точку, щоіснує і знайти його.

9. Знайти границю послідовності (скористатися задачею 9).

10. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості, розв’язуючи відповідну систему рівнянь.

Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди.

Нехай дана числова послідовність .

Означення. Символ називається рядом.

Позначимо n - частинну суму.

Означення. Границя послідовності частинних сум називаєтьсясумою ряду.

Приклад. 1. .

2. 1-1+1-1+... , - не існує.

Критерій Коші. Ряд збіжний тоді і тільки тоді, коли

Доведення випливає з ознаки Коші для послідовності.

Наслідок 1. Якщо ряд збіжний, то .

Наслідок 2. Збіжність ряду не залежить від кінцевого числа доданків.

Приклад. Гармонічний ряд розбігається.

Дійсно отже дляікритерій Коші не виконується, тобто ряд розбіжний.