Приклади

Обчислити визначені інтеграли:

1. .

2. .

3. 

, тоді .

Підстановка:

u = lnx; du = dx. dv = xdx; v = .

4. 

У заданому інтегралі застосуємо підстановку t = cos x, де .

Тоді на цьому відрізку cosx змінюється монотонно (спадає), а отже, ми можемо визначити межі по t. Для цього в попередній рівності покладемо x = 0. Матимемо нижню межу t = 1. Якщо х = , то маємо верхню межу t = 0.

Складемо таку таблицю:

x		0
t	0	1

Знаходимо dt = – sin xdx. Тоді .

5.

Застосуємо підстановку t = e^x, або x = lnt. Тоді межі по t:

x	0	1
t	1	e

Знаходимо: dx = . Отже,

.

6. . Застосовуємо підстановку t= x² + 9. Знаходимо межі інтегрування по t:

x	0	4
t	3	5

Знаходимо dt = 2 xdx.

Отже, .

4. Диференціальні рівняння Диференціальні рівняння першого порядку

Математичні методи дослідження явищ та процесів, що відбуваються в природі, у живих організмах не можливо без диференційних рівнянь. Використання їх дає можливість одержать функціональну залежність між величинами, які нас цікавлять, але і вивчити їх вплив на дані процеси (явища), що дуже важливо для медико-біологічних процесів.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що має незалежну змінну х, функцію у = f(x) і похідні y(x), y(x)... і т. д. F(x, y, y, y ... y) = 0.

Порядок диференційного рівняння визначається по порядку найбільшої похідної, що входить у рівняння. Приклад: F(x, y, y) = 0 – диференційне рівняння першого порядку. F(x, y, y, y) = 0 – диференційне рівняння другого порядку і т. д.

Загальним рішенням диференційного рівняння називається функція, яка будучи підставлена в рівняння, обертає його в тотожність. Приклад: функція y = e є загальним розв’язком диференційного рівняння:

xydx + dy = 0.

Якщо, припустити y = e +c, знайдемо y = і, підставивши значення y і dy в дане рівняння, одержемо тотожність:

xe dx + .

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називають інтегруванням його. Щоб не плутати операцію інтегрування диференціального рівняння з операцією знаходження невизначеного інтегралу, останню називають квадратурою.

Якщо при інтегруванні диференціального рівняння приходять до квадратури, то кажуть, що диференціальне рівняння інтегрується в квадратурах. Це означає, що розв’язок диференціального рівняння виражено через квадратуру (невизначений інтеграл).

Зауважимо, що до розв’язків диференціального рівняння , яке називається перевернутим диференціальним рівнянням. Диференціальне рівняння можна записати ще так: dy – f(x,y)dx = 0. Помноживши обидві частини цього рівняння на деяку функцію N(x, y) дістаємо таке диференціальне рівняння M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Функції М(х, у), N(x, y) називають коефіцієнтами диференціального рівняння. Дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді f(x, y) = – .