Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Розглянемо окремі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах. Нехай маємо диференціальне рівняння виду , яке явно не містить шуканої функції у. Як вже зазначалося, таке диференціальне рівняння має загальний розв’язок y = .

Задамо початкову умову у(х₀) = у₀, де х₀ – будь-яка точка відрізка [a, b], то для диференціального рівняння виконуються умови , диференціальне рівняння має єдиний розв’язок. Цей розв’язок можна записати так: у(х) = у₀ + .

Приклади

Розв’язати диференціальні рівняння:

1. .

Тут права частина є функція, неперервна в усіх точках інтервалу . Тому диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв’язок:

у = у₀ +

= y₀ + ).

Зокрема, якщо х₀ =0, то у = у + .

2. , при у 1.

Дане рівняння допускає відокремлювання змінних . Звідси

. Знайшовши інтервали, маємо ln . Після потенціювання ln , маємо у = 1 + сe . Дістали загальний розв’язок диференціального рівняння.

3. х(у –1)dx + y(x² –1)dy = 0.

Помножимо обидві частини цього рівняння на функцію . Дістанемо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними .

Загальний інтеграл, згідно з формулою має

Знайшовши інтеграли, дістанемо ln . Після потенціювання остаточно маємо такий загальний інтеграл (х²–1)(у²–1) = с. Знайдемо корні рівнянь:

х²–1 = 0, у²–1 = 0.

Маємо х= 1; у= 1. Отже, прямі х= 1 і у= 1 є інтегральними кривими диференціального рівняння. Проте ці розв’язки знаходяться із загального інтеграла при с=0. Тому вписувати їх не слід. Вони є окремими розв’язками заданого диференціального рівняння.

Однорідні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння =f(x, y) називають однорідним, якщо функція f(x, y) задовольняє умову f(x, y) = f(tx, ty), де t – будь-яке число, відмінне від нуля. Функція f(x, y), що задовольняє умову, називається однорідною функцією нульового виміру. Тому диференційне рівняння називають однорідним, якщо права частина його є однорідна функція нульового виміру.

Розглядають також функції виміру n, це функції, для яких справджується умова f(tx, ty) = tⁿ f(x, y). При n=0 маємо функцію нульового виміру. Однорідні диференціальні рівняння зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою y = u(x), де u – невідома функція х, u = u(х). Припустимо, що функція u = u(х) є розв’язком диференціального рівняння = f(x, y). Тоді тотожно виконується рівність x + u =f(x, ux). Проте за умовою, функцію f(x, ux) можна записати так: f(x, ux) = f(tx, tux). Нехай t = (x ). Маємо f(x, ux) = f(1, u), тобто f(1, u) є функція від однієї змінної u f(1, u) = . Диференціальне рівняння набирає вигляду: x , або в диференціальній формі:

xdu = [ (u) –  u]dx.

Диференціальне рівняння допускає відокремлювання змінних. Справді, якщо (u)–u 0, то рівняння можна записати так: , звідси . Підставивши сюди значення u = , дістанемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Загальний інтеграл ми знайшли при виконанні умови . Нехай дана умова не виконується. Тоді матимемо два такі випадки:

1. , або . У даному випадку диференціальне рівняння набирає вигляду . Загальним розв’язком цього рівняння є сім’я півпрямих у = Сх(х 0), до яких треба приєднати півпрямі х = (у 0).

2. Умова (u) – u 0 порушується при окремих значеннях х, наприклад, при u= u₀. Тоді, крім загального інтеграла, диференціальне рівняння має ще розв’язок u = u₀ або у = u₀х, тобто інтегральною кривою є пряма, що проходить через початок координат.