Задача про роботу змінної сили

Якщо на точку М, яка рухається прямолінійна (мал.6), діє стала сила F і її напрям збігається з напрямом руху точки, то робота А, виконана цією силою, дорівнює: A = FS, де S – шлях, пройдений точкою М. Проте здебільшою величина сили не є сталою. Вона неперервна від точки до точки, і користуватися попередньою формулою для обчислення роботи не можна.

A M F(x) M_k M_k+1 B

a x x_k Ck x_k+1 b x

Мал. 6

Отже, нехай величина сили F є функцією від x. F = F(x) і нехай під дією цієї сили точка М перемістилась з точки A до точки B, пройшовши відстань b–a. Розіб’ємо відрізок [a; b] на n довільних частин точками a = x₀ < x₁ < x₂ < ...< x_k < x_k+1 < ... < x_n-1 < x_n = b. Розглянемо відрізок [x_k; x_k+1] (k = 0,1, ... , n–1). Припустимо, що цей відрізок настільки малий, що F(x) на ньому мало змінюється. Тоді можна вважати, що величина сили дорівнює значенню F(x) в деякій довільно вибраній точці с_k, а саме, F = F(c_k). Отже, робота, виконана сталою силою F(c_k) при переміщенні точки М вздовж прямої з положення М_k в положення M_k+1 , наближено дорівнює:

A F(c_k) x_k x _k = x _k+1 – x _k. k = 0,1,2, ..., n–1.

Тоді вся робота, виконана силою F при переміщенні точки вздовж прямої з положення A в положення B, наближено дорівнює:

A = .

Зрозуміло, що чим менші будуть довжини частинних відрізків (число x_k), тим сума, яка стоїть у правій частині попередньої рівності, буде точніше визначення роботи, як ми її інтуїтивно уявляємо. Тому природно за роботу А прийняти A = , , , якщо дана границя існує. Тим самим ми дали означення роботи змінної сили F, яку вона виконує при переміщенні точки M вздовж прямої від точки A до точки B. Обидві задачі звелись до знаходження границь сили. Суму називають інтегральною сумою функції.

Границю інтегральної суми називають визначеним інтегралом функції f(x) на певному відрізку [a; b] і позначають (читається: “інтеграл від а до б еф від ікс де ікс”). Число а називається нижньою межею інтегрування; b – верхньою межею; f(x) називається підінтегральною функцією; f(x)dx – підінтегральним виразом; відрізок [a;b] – проміжком інтегрування.

Отже, згідно з визначенням, визначений інтеграл є границя (якщо вона існує) інтегральної суми.

Властивості визначеного інтегралу

Визначений інтеграл має ряд властивостей.

1. = – , якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі, то при цьому знак інтегралу змінюється на проміжний.

2. – визначений інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю.

3. = – сталий множник можна винести за знак визначеного інтегралу.

4. = – визначення інтегралу від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) визначених інтегралів від цих функцій.

5. Якщо для функції f(x) існують інтеграли ; ; , то має місце рівність: = + .

Для знаходження визначеного інтегралу користуються формулою Ньютона-Лейбніца = F(b) – F(a), де F(x) – первісна функція f(x), тобто F′(x) = f (x).

Таким чином, щоб знайти визначений інтеграл, необхідно відшукати первісну функцію, підставити в цю первісну – значення верхньої межі, а потім нижньої межі і одержати різницю. У загальному вигляді можна записати = (x F) = F(b)–F(a)