Приклади

Розв’язати диференціальні рівняння:

1. у= .

Розв’язання. Права частина заданого рівняння є однорідна функція нульового виміру f(tx, ty ) = = . Диференціальне рівняння є однорідним. Застосуємо підстановку y=ux. Маємо . Легко побачити, що умова (u) – u 0 виконується для всіх u 1. Проте точки, u = не входять в область визначення диференціального рівняння. Отже, відокремлюючи змінні в рівнянні, дістаємо таке диференціальне рівняння: . Інтегруючи це рівняння, маємо Знайдемо інтеграл:

Дістанемо такий загальний інтеграл диференціального рівняння:

arctg

2. .

Розв’язання. Запишемо це рівняння у вигляді . Це однорідне диференціальне рівняння. Зробивши підстановку y=ux, маємо . Відокремлюючи змінні, дістаємо .

Після інтегрування . Звідси знаходимо загальний розв’язок: у = хе^ех+1. Відокремлюючи змінні, ми припустили, що u(lnu-1) Нехай u(lnu-1) = 0, тоді u = 0, u = e. Кореню u = 0 відповідає значення у = 0. Це значення, як видно з рівняння, не належить області визначення заданого рівняння. Кореню u = e, відповідає розв’язок у=ех. Проте цей розв’язок міститься у загальному розв’язку у = хе^ех+1. Його можна дістати із загального розв’язку при с=0. Отже, всі розв’язки диференціального рівняння виражаються формулою у = хе^ех+1.

Неоднорідне диференціальне рівняння

Якщо в диференціальному рівнянні:

в розглянутому проміжку <a; b>,

то таке диференціальне рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням.

Загальний розв’язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння знаходять методом варіації довільної сталої. Розглянемо суть цього методу на прикладі.

Приклад: .

Знайдемо загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння

= 0.

Відокремимо змінні . Звідси . Пропотенціювавши, маємо такий загальний розв’язок диференціального рівняння у=се^х. Для знаходження розв’язку неоднорідного рівняння застосуємо метод варіації довільної сталої. Припустимо, що у формулі у=се^х, с=с(х). Підставимо функцію у диференціальне рівняння. Тоді . Звідси дістаємо таке диференціальне рівняння: . Отже, с= . Інтеграл знаходимо частинами. Для цього покладемо u =2x–x² , dv = e^–x, користуючись формулою :

Отже, c = 2e^–x[1–(2x–x²)–2(1–x)] + c. Підставивши знайдено значення с у формулу, знайдемо загальний розв’язок диференціального рівняння

y = ce^x +2[1–(2x–x²) – 2 (1–x)].

Розв’язок деяких медичних задач грунтується на розв’язку диференціальних рівнянь.

Приклад: Швидкість охолодження тіла прямопропорційна різниці температур тіла і навколишнього середовища. До якої температури охолоджується тіло за 30 хвилин, якщо за 10 хвилин воно охолола від 100⁰ до 60⁰С? Температура навколишнього середовища 20⁰С.

Розв’язок

Складаємо основне рівняння .

якщо , t = 100⁰C 100 – 20 = c. с = 80⁰;

якщо = 10, t = 60⁰С 60 – 20 = 80 е^–10k k = ;

якщо = 30, t = 80⁰С e^–30 .

Задача: Закон радіоактивного розпаду радію полягає в тому, що швидкість розпаду радію в кожний момент часу пропорційна наявній кількості радію. Знайти закон розпаду радію в залежності від часу, якщо при t = 0 , було R₀ г радію. Нехай при t і t+ була кількість радію R і R+ R. Величина – характеризує середню швидкість розпаду радію за проміжок часу t.

– швидкість розпаду радію в момент часу t. Диференціальний закон розпаду радію , де – коефіцієнт пропорційності, знак “–“ – згідно умови при збільшенні t R – зменшується.

Проінтегруємо рівняння Визначаємо С при начальних значеннях t = 0, R = R₀. R₀ = ce^–x0; c = R_0. Підставляємо значення с в рівняння, одержимо закон розпаду радію R = R₀e^– . Коефіцієнт знаходиться дослідним шляхом. За t₀ років розпадеться P% від R₀, тому через t₀ років стане R₀– = R₀ (1– ). Згідно закону розладу буде R₀e^{– t0}. Маємо рівність R₀(1– ) = R₀e^– .

Знаходимо : ; – ); ).