§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу

R_n кеңістігнің (n = 1- түзу, n = 2 - жазықтық n = 3 - кеңістік, n>3 - n - өлшемді абстракты (дерексіз) кеңістік кез келген х,у- нүктелері (радиус—векторлары) берілсін. Онда [х,у] кесіндісін келесі түрде анықтауға болады (6 - суретті кдраңыз) z =λx + μy, λ, μ>0, λ + μ = 1. (2.2)

Мұнда = 0 болса, онда z=x, ал = 0 болса, онда z=y, ал кез-келген λ>0, μ>0 үшін z нүктесі [x,y] кесіндінің ішкі нүктесі

(2.2) - тендікті келесі түрде жазуға болады:

z=(l-)x + μy = x + μ(y-x), 0≤μ≤1

немесе

z= λx + (1-λ)у = y+ λ(x-y) 0<λ<1.

Теорема. z= λx + μy, λ, μ ≥0, λ + μ= 1 нүктесі [х,у] кесіндісін ұзындыктары қатынасындай болатын кесінділерге бөледі.

№ 11-12 лекциялар. Векторлардың скаляр көбейтінділері анықталып оның көмегімен шығарылатын практикалық есептер қарастырылады.

§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.

Кейде (i,j.k) базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу ыңғайлы.

a=AB векторының бағытталған L түзуше проекциясы (Пp_Lа) деп векторын айтады, мұндағы нүктелері А мен В нуктелерінің L түзуіне проекциялары (7-сурет).

'= Пp_L.

А'В' - векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер а мен L-дың арасындағы бұрыш сүйір, яғаи 0<ω = (,L)<90° болса, онда оның бағыты L түзуінің бағытымен беттеседі де, ал доғал,

90⁰<ω = (,L)<180° болса,

онда А'В' –векторы L түзуінің бағытына қарама-қарсы болады. Сондықтан, а векторының бағытталған L- түзуше проекциясын келесі түрде аныктайды.

Анықтама. = АВ векторыныц L — бағытталған түзуге проекциясы деп вектор а –ның ұзындызы мен а векторы мен L түзунің бағыты арасындағы бұрышының косинусының көбейттдісін айтады: Пр _La = cos  (2.3)

,векторларының берілген бағатқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:

l°.Пp_L( + ) = np_L + np_L;

2°. Пp_L() = Пp_L

Осыдан Пp_L(-) = Пр_L-Пp_L болатындығын аламыз.

Аныктама. а мен b векторларының скаляр квбейтіндісі деп осывекторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісінее тең санды айтамыз және оны ab, (a,b), (, ) таңбаларының біреуімен белгілейміз: ab=(a,b)=(,)=\ \ • cos<y = \\ • \\ cos,A (2.4)

(2.3) - теңдігін ескеріп (2.4) теңдігін келесі түрде де жаза аламыз:

= \Пp_s = Пp. Скаляр кебейтіндінің келесі қасиетгері бар: (,) = (,), (,+) = (,) + (,),

(,α) = α(,) Нөл емсс ,векторлары үшін:

1) (,) = 0(,) = (, векторлары ортогональ);

2) (,) > 0  0 <( ,) <  (,) - сүйір бұрыш;

3) (,)<0 <(,)<π;  (,) -доғал бұрыш.

Кез келген а векторы үшін

(a,b)=(,) =

Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары ,, үшін

(,) = (,) = (,) = 1,

(,) = (,) = (,) = 0.

Егер {,,} базисінде = (x₁,y₁,z₁)=(x₂,y₂,z₂) векторлары берілсе, онда

(,) = x_]x₂+y_ly₂+z_lz₂.

Дербес жағдайда = болса, онда

= \\ ² =

бұдан = (х, у, z) = х + у+ z векторының ұзындығын аламыз:

\\= . (2.5)

Erep = (x,y,z), =(x',y',z') берілсе, онда (2.5) -теңдіктен мен нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады

\АВ\ ₌ \-\=

= және = векторларының арасындағы бұрышы

(2.6) тең.

(2.6) - теңдіктен = (x₁,y₁,z₁) және =(x₂,y₂,z₂) векторларының ортогональдық () белгісін алуға болады:

Анықтама. Нөл емес а векторының бағыттаушы косинустары деп осы вектор мен ox,oy,oz өстерінің арасындағы бұрыштарының ,, косинустарын айтады.

= (х, у, z) векторының бағыттаушы косинустары

, , .

Бағыттаушы косинустар cos² + cos²  + cos² = 1 тендігінің орындалатынын тексеру қиын емес.

Кез келген нөл емес а = (х, у, z) = xi + yj + zk векторының орты

= (cos , cos, cos ) .

№ 13-14 лекциялар. Векторлардың векторлық және аралас көбейтінділері анықталып оның көмегімен шығарылатын практикалық есептер қарастырылады.