§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi

1. Туынды

нүктесінде және оның қандайда бip маңайында

анықталған функция болсын. – нүктесі деп аргумент өсімшесі ал оған сәйкес келетін функция өсімшеci

арқылы белгіленетін еді.

Анықтама. Егер шегi

бар болса, онда бұл сан y = f(x) функциясының х₀ -нүктесіндегі туындысы деп аталады да т.с.с. таңбаларының бірімен белгіленеді.Сонымен, немесе т.с.с. (1)

Егер (1) - шек немесе болса, онда функциясының - нүктедгі туындысы шексіздікке тең.

Егер (1) - теңдіктегі шектер немесе жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) f функциясының х₀ нүктесіндегі оң жақ туындысы, ал немесе жағдайында қарастырылса, онда сол жақ туындысы деп аталады да олар, сәйкес, арқылы белгіленеді.

Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:

1) 2) шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда (2)

Ескерту, Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бip жақты туындылары болмауы мүмкін.

Ал бұған кері тұжырым үшін олай емес: х нүктесінде туындысы бар функция осы х - нүктесінде үзіліссіз болады. Бұл кері тұжырым біржақты туындылар жағдайында да орындалады.

Салдар. Егер х₀ нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде f- тің шенелген туындысы болмайды.

2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы

Лездік жылдамдық нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын: S- нүктенің t-(уақыт) кезіндегі О нүктеден арақашытығы. t - уақыт кезіндегі лездік жылдамдық

Туындының геометриялық мағанасы.

26-сурет 27-сурет

(а,b) аралығында үзіліссіз y=f(x) функциясы берілсін. Оның Г - графигін A = (x,f(x)) нүктесін белгілеп (26 — 27 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген жанаманы анықтайық. Ол үшін Г -қисығынан басқа нүктесін аламыз (26 - суретте ал 27 - суретте жағдайы көрсетілген). А мен В нүктелері арқылы өтетін, х - тің өсу жағына қарай бағытталған S түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның х - өсінің бағытымен арасындағы бұрышын деп белгілейік және

Егер болса, онда және В нүктесі Г қисығы бойымен А - нүктесіне ұмтылады. Осыдан бұрышы қандайда бip мәніне

ұмтылса, онда шегi бар және ол f функциясының х нүктесіндегі (ақырлы) туындысына тең. Kepiciнше, erep (ақырлы) туындысы бар болса, онда

Анықтама. Г - қисығының A = (x,f(x)) нүктесіндегі жанамасы деп және нүктелері арқылы өтетін (х -тің өсу жағына қарай бағытталған) s - қиюшының - ғы ұмтылатын Т - түзуін айтады.

Аналитикалық геометриядан (х₀,у₀) нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті | тең түзу теңдеуі түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, y = f(x) қисығының нүктесіндегі жанама тендеуі

түрінде, ал нүктедегі нормаль теңдеуі түрінде жазылады.

№ 35-36 лекциялар. Туынды табу ережелері. Бір айнымалылы функцияның дифференциалы, қасиеттері, қолданылуы.

3. Дифференциалдау ережелері

х нүктесінде шектеулі туындысы бар функция дифференциалданатын функция деп аталады.

1-теорема. Erep u(x),v(x) х-нүктесінде дифференциалданатын функциялар болса, онда осы нүктеде олардың қосындысы, көбейтіндісі және бөліндісі дифференциалданады және

1)

3)

2 - теорема, (күрделі функцияны дифференциалдау ережесі)

функциясы нүктесінде дифференциалданатын және ал функциясынүктесіндедифференциалданатын болсын. Онда у - f[u(x)] күрделі функция нүктесінде дифференциадданады және оның туындысы

(4)