4.Kepi функция туындысы

функциясының анықталу аймағы D мәндер аймағы Е болсын.

Анықтама. Егер әрбір үшін g[f(x)] = х және әрбір үшін шарттары орындалса, онда анықталу аймағы Е және мәндер аймағы D болатын х = g(y) функциясы у = f(x) функциясына кepi функция деп аталады.

OXY координаталар жүйесінде y = f(x) пен x = g(y) функцияларының графиктері бipey ғана. Ал

у = f(x) пен у = g(x) функцияларыныц графиктері у-х өстерімен қарағанда симметриялы болады.

Теорема. Erep y = f(x) қанадайда бip I аралығында үзіліссіз болса, онда, оның кері функциясы болуы үшін f функциясы I аралығында монотонды өспелі немесе кемімелі болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема. y = f(x) [a,b] аралығында үзіліссіз, өспелі және қандайда бip нүктеде нөлге тең емес ақырлыf'(x) туындысы бар функция болсын. Онда f - ке кері функциясында осы х нүктеде туындысы бар және ол үшін

немесетеңдігі орындалады. Енді туынды формулаларын жинақтайық. Heгізгi элементар функциялардың туындыларының кестесі.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы

у-тің х-ке тәуелділігі t параметрі арқылы өрнектелсін:

у - тің х - бойынша туындысын х пен у - тің t - бойынша туьшдылары арқылы табайық.

Теорема. Егер және бар және болса, ондаx - нүктесінде дифференциалданады және (5)

6. Функция дифференциалы

Анықтама. Егер f функциясының х - нүктесіндегі -өсімшесін

(6)

түрінде жазылатын болса,онда берілген f(x) функциясы х - нүктесінде дифференциалданады деп атайды (А- х - ке тәуелді).

Теорема. f х - нүктесінде дифференсалданатын функция болу үшін х- нүктесінде функцияның ақырлы туындысының болуы қажетті және жеткілікті.

(6) — теңдіктегі бірінші қосылғыш - ке пропорционал және оған сызықты тәуелді, ал екінші қосылғыш - ке салыстырғанда жоғары peттi шексіз аз яғни болса) - да екінші қосылғыш бірінші қосылғышқа қарағанда жылдамырақ нөлге ұмтылады. Осыған байланысты шамасын ұмтылғанда) функция өсімшесінің бас мүшесі дейді және ол функцияның дифференсалы деп аталады да dy арқылы белгіленеді.

Сонымен, dy = df(x) = (7)

Егер x-нүктесінде дифферсалданатын функциялар болатын болса, онда тұрақты сан ;

Егер x- нүктесінде, ал у = f(u) функциясы u нүктесінде дифференциалданса, онда y = f[u(x)] күрделі функциясы яғни y-f(u) үшін df = f'(u)du теңдігі u тәуелсіз айнымалы болса да, немесе функциясы болса да орындалады екен. Бұл ереже дифференциал түрінің инварианттылығы деп аталады.

теңдігінен немесе

жуық теңдігін жазуға болады, және оны жуықтап есептеулерre қолданылады .

Қорытынды. № 35-36 лекциялардан кейін студенттер туындыны есептеу ережесін меңгереді, дифференциал ұгымыын біліп, оның көмегімен жуықтап есептеу тәсілін меңгереді.

№ 37-38 лекциялар. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар және олардың қасиеттері.Дифференциалданатын функциялар жайлы теорема.