§1.2. Жазықтық теңдеуі.

Тік бұрышты (х₁, х₂, х₃) координаталар жүйесі енгізілген R₃ кеңістікде 0 - бас нүктеден шыққан а векторы берілсін. а векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана болады. Міне осы жазықтықтың тендеуін жазу керек. Сонымен,

\\ =р, v = (cos α₁,cos α₂,cos α₃) векторының орты, α₁,α₂,α₃ – v векторының сәйкес х_1,х₂,х₃ өстерінің арасындағы бұрыштар белгігі бол сын.

= (х₁,х₂,х₃) - жазықтықтың кез келген нүктесінің (радиус-вектордың) v - векторына проекциясы р санына тең:

П=p.(12 - суретті қараңыз).

Олай болса,

(,) = П=p, p≥0

немесе

(,) = p, p ≥0

Бұл теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі деп аталады.

Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол

х₁ • cos α₁ + х₂ • cos α₂ + х₁ • cos α₃ = р, р≥0 (1.22)

түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңеуі деп атайды.

(1.22) - ні кез келген k санына (нөлге тең емес) көбейтіп, оған эквивалент теңдеу аламыз:

A_lx_l+A₂x₂+A₃x₃+B = 0 (1.23)

(А=kcosα₁,i = 1,2,3; B=-k*p). Мұнда A₁² + А₂² + А₃³ ≠0, яғни А₁,А₂,А₃ - 6ip мезгілде нөл бола алмайды. (1.23) - ті жазықтықтың жалпы тендеуі деп атайды. Жазықтықтың жалпы тендеуінен қалыпты тендеуге ету үшін (1.23) - да қалыптаушы көбейткіш

санына кебейтсе болғаны (таңба В — таңбасына қарама-қарсы етіп алынады). Онда (1.23) - ке эквивалентті

М *А₁ • х₁ + М *А₂ *х₂ + М * А₃ *х₃ = р (1.24)

тендеуін аламыз. Мұндағы

(М А₁)²+(М*А₂)² + (М*А₃)²=1 болатындықтан, = (M*A₁, М*А₂, М*А₃)

векторы бірлік вектор болады, ал оның координаталар өстеріндегі проекциялары:

М*A₁ =соsα₁ M*A₂=cosα₂, M*A₃=cosα₃.

α_i - v векторымен х_i, i= 1,2,3 өсініің оң бағытымен арасындағы бұрыш. Сондықтан (1.24) - тендеу

X₁ –cosα₁ +x₂ -cosα₂ +x₃ -cosα₃ -р, р≠0

түрінне, яғни қалыпты тендеуге келеді. (1.23) - тендеуден:

1) B= 0 болса, онда жазықтың координата бас нүктесі арқылы өтетінін, ал В≠0 болса, онда ол координата бас нүктесі арқылы өтпейтінін айта аламыз;

2) А = (А₁,А₂,А₃) векторы жазықтыққа перпендикуляр болатыны белгігі. Өйткені ол жазықтықа перпендикуляр

= (M*A₁, M*A₂, М*А₃) = М(А₁, А₂, А₃) = М*A векторына коллинеар.

(1.23) – тендеуді р - жазықтығының жалпы тендеуі

р: Ax + By + Cz + D = 0

түрінде жазып, жоғарыдағы екі мәлімет арқылы жазықтыктың координаталық остер мен координаталық жазықтықтарға қарағандағы орналасу жағдайларын талдайық. Атап керсетілмесе A,B,C,D - нелге тең емес сандар деп есептейміз.

а) Егер С = 0 болса, онда р: Ах + By + D = 0 түріне келеді де p\\0z, өйткені, оның нормалі =(А,В,О)oz.

Сонғы тұжырым = (А,В,О) мен = (0,0,1) векторларының

скаляр кебейттдіснің нөлге теңдігіен:

nk =-А*0+B*0+0*1=0 шығады.

Осы сиякты,

B= 0 болса, р: Ах + Cz + D = 0

онда р\\0у,

А = 0 болса, p:By + Cz + D = 0 онда р\\ОХ болады. Бұл үш жағдайда да D = 0 болса, онда р жазықтығы сәйкес z, у, х өстері арқылы өтеді.

б) Егер С = В = 0 болса, онда

P:AX + D = Q немесе р: х = а а =

тендеуі oyz жазықтығына параллель (немесе х - өсін перпендикуляр) жазықтықты анықтайды, өйткені = (А,О,О) және ī = (1,0,0) коллинеар векторлар.

Сол сияқты, с = А = 0 болса, онда p:By + D = 0 немесе р: у = b

А = В = 0 болса, р: Cz + D = 0 немесе z = с

жазыктыктары сәйкес oxz жене OXY координаталык жазықтықтарына параллель болады.

Жазықтықтың кесіндідгі теңдеуі.

Егер a₁x₁ + А₂х₂ + А₃х₃ +B = 0

тендеуінде А_i≠О, i = 1,2,3; B≠0 болса, онда оны – В шамасына бөліп

(1.25)

түріне келтіруге болады. (1.25) – ті жазықтықтың кесіндегі теңдеуі деп атайды. Бұл жазықтыктың х₁ өсін (а₁,0,0) нүктесінде, х₂ өсін (0,а₂,0) нүктесінде, х₃ өсін (0,0, a₃) нүктесінде қиып өтеді.

Анықтама. р жазықтығындағы кез келген коллинеар емес a, және b векторларын осы жазықтықтың бағыттаушы векторлары деп атайды.

1-Есеп. Бағыттаушы векторлары = (a₁,a₂,a₃), =(b_],b₂,b₃) болатын ° = (x_l,x₂,x₃) нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

° = (x_l,x₂,x₃) жазықтықтың кез келген нүктесі болсын. Онда х-° векторы ізделініп отырған жазықтықта жатқандықтан

-°=(х₁ –x₁°,.x₂ –х₂°,х₃ –х3°) = (a_l,a₂,a₃) = (b₁,b₂,b₃) векторлары Компланар болады. Олай болса олардың арасы көбейтіндісі нөлге тең;

(-°)= 0 немесе

(1.26)

Соңғы теңдікті жазыктыктың бағыттаушы векторлары бойышпа жазылған теңдеуі дейді.

2-Есеп. Есеп. Бір түзудің бойында жатпайтын М₀ (x₀,y₀,z₀), М₁ (x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) үш нүкте арқылы өтетін жазықтықдың тендеуін жазу керек.

==(x_1-x₀,y_l-y₀,z_l-z₀) және ₂ = = (х₂ - х₀, у₂ – у₀, z₂ - z₀) векторлары р жазықтығының бағыттаушы векторлары болатындықтан (1.26) - бойынша M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) - үш нүкте арқылы өтетін жазықтык тендеуі келесі түрде жазылады:

3-Есеп.. α₁: А₁х₁+А₂х₂ + А₃х₃+С = 0, α₂: В₁х_} + В₂х₂ + В₃х₃ +D = 0 түрінде берілген екі жазықтық арасындагы бұрышты табу керек.

= (А₁,А₂,А₃), = (В₁,В₂,В₃) векторлары сәйкес α₁ және α₂ жазыктықтарына перпендикуляр болғандықтан осы екі вектор арасындағы бұрыш берілген екі жазықтық арасындағы бұрышқа тең. Олай болса (φ = ())

бұдан

Соңғы формуладан екі жазықтың перпендикулярлық белгісін жаза аламыз яғни немесе

және жазықтықтары параллель болу үшін A мен B векторлары коллинеар болады. Одан

Егер бұған қосымша

орындалса, онда жоғарыдағы және жазықтықтары беттеседі, яғни екі тендеу тек 6ip ғана жазықтықты анықтайды

4- есеп. °=(х₁°,х₂°,х₃°) нүктесінен α: А₁х₁ +А₂х₂ +А₃х₃ +B = 0 жазықтығына дейін қашықтықты табу керек.

Жазықтық теңдеуін қалыпты түрге келтірейік:

( ) = p, p≠0.

13 - суреттен -⁰ α- жазықтығының кез келген = (х₁,х₂,х₃)

нүктесімен берілген ° = (х⁰₁,х⁰₂,х⁰₃ ) нүктесінің айырымы болатын -° векторының v векторына проекциясының абсолют шамасы ізделініп отырған °- нен α – жазықтығына дейінгі d - қашықтығы болатынын көруге болады:

d= Пp,(-°)|= (°-° , )\=\ (, )-(°,)= \p-(° ,)\=\(°,)-p\ . Бұл теңдікті жазықтық параметрлері бойынша жазсақ

аламыз.

Суреттен, егер ° және - доғал бұрыш жасайды, сондықтан (x°,)-p>0

немесе (°,)>р, ал ° мен 0(0,0,0) нүуктелері α - жазыкдығының 6ip жағында жатса, онда (-°,) - сүйір бұрыш, сондықтан (°, ) - р < 0 немесе (°, ) < р болатынын көруге болады.