Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е. .

Доказательство. Пусть наступлению события А благоприятствуют исходов из равновозможных, не совместных и единственно возможных. Тогда безусловная вероятность события А будет равна

.

Пусть далее из исходов, при которых наступает событие А, наступлению события В благоприятствуютисходов (). Тогда условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что произошло событие А, будет равна

.

Вычислим теперь вероятность наступления событий и А, и В. Совместное наступление событий и А, и В может иметь место только в случаях изравновозможных. Следовательно,

.

Разделив и умножив эту дробь на , получим

.

Заметим, что .

Вероятность совместного наступления нескольких взаимозависимых событий (АВС…LК) равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго в предположении, что первое наступило, на условную вероятность третьего в предположении, что первые два наступили, и т.д., т.е.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. .

Доказательство. Из доказанной теоремы следует . Так как события А и В независимы, то . Следовательно,.

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий А, В, С,…,К равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместных событий: , или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

(1)

Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

, откуда

(2)

Аналогично имеем , откуда

. (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим .

Объединяя доказанные теоремы, имеем:

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, … , , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, , … ,, т.е..

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, … , . События А и …(ни одно из событий не наступило) противоположны, значит, сумма их вероятностей равна единице:…) =1. Отсюда…) =) …p() =.

Замечание. Если события ,, … ,имеют одинаковую вероятность, равную

то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностисобытия А. Требуется найти вероятность события А. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Доказательство. По условию теоремы, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий , т.е. появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . По теореме сложения=).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».