Функциональные ряды

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от.

Рассмотрим функциональный ряд . Даваяопределенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Совокупность тех значений, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через.

Среди функциональных рядов наиболее распространенным является степенной ряд.

Степенным рядом называется ряд вида , (9)

где постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

При каждом фиксированном значении переменной степенной ряд превращается в некоторый числовой ряд. Если полученный для какого-то значениячисловой ряд оказывается сходящимся, то говорят, что при этом значении, или в этой точке степенной ряд сходится. Если же для другого значениясоответствующий числовой ряд окажется расходящимся, то говорят, что степенной ряд в такой точке расходится. Совокупность значений, при которых заданный степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда является интервалом числовой оси, симметричным относительно точки.

Определение интервала сходимости степенного ряда строится на подчинении значений условию сходимости числового ряда. Если все коэффициенты степенного ряда отличны от нуля, то применение для этой цели признака Даламбера приводит к неравенству

. (10)

Знак абсолютного значения связан с тем, что коэффициенты степенного ряда и значения переменной могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Условие (10) после преобразования принимает вид

,

откуда

. (11)

Неотрицательное число, определяемое этим пределом (если он существует), называется радиусом сходимости степенного ряда и обозначается символом . Таким образом, радиус сходимости степенного ряда

. (12)

Знак абсолютной величины для тех значений , при которых степенной ряд сходится (11), позволяет определить интервал сходимости в виде. Этим охватывается совокупность и положительных и отрицательных значений, при которых степенной ряд сходится.

В соответствии с возможными значениями предела (12) различаются три случая для интервала сходимости степенного ряда.

1. При интервал сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел.

2. При интервал сходимости вырождается в точку, и соответствующий ряд сходится к своему свободному члену.

3. При конечном значении интервал сходимости степенного ряда является ограниченным, - при значениях, т.е. внутри этого интервала, соответствующий ряд сходится, а при, т.е. вне интервала сходимости, ряд расходится.

На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться, а может и расходиться. Уточнение этого вопроса связано с исследованием сходимости числовых рядов, в которые обращается заданный степенной ряд при и при.

Степенным рядом также называется функциональный ряд вида

Этот ряд сходится при значениях , удовлетворяющих неравенству.