Методы расчёта сводных характеристик выборки

Условные варианты

Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т.е. в виде вариационного ряда.

Равноотстоящиминазываются варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью.

Условными называются варианты, определяемые равенством

,

где С – ложный нуль (новое начало отсчёта); - шаг, т.е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).

Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом то условные варианты есть целые числа. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например. Тогда, т.к.- целые числа, то их разность- также целое число.

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным теоретическим моментом порядка случайной величиныназывается математическое ожидание величиныи обозначается:

Для непрерывной случайной величины

В частности, , . Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсииможно записать так:.

Центральным теоретическим моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величиныи обозначается

.

Для непрерывной случайной величины .

В частности, .

Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов.

Обычным эмпирическим моментом порядка называется среднее значениеk-ых степеней разностейи обозначается:

,

где – наблюдаемая варианта,- ложный нуль,- частота варианты,.

Начальным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка прии обозначается:

.

В частности, .

Центральным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка прии обозначается:

.

В частности, .

Легко выразить центральные моменты через обычные, например,

2.

Условные эмпирические моменты

Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчёты, заменяют первоначальные варианты условными.

Условным эмпирическим моментом порядка , называется начальный момент порядка, вычисленный для условных вариант:

В частности , отсюда

.

Выразим обычные моменты через условные: , откуда

Найдя же обычные моменты, можно найти центральные моменты: .

Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений даёт удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная условные моменты, можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Покажем применение этого метода на конкретном примере.

Пример 3. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объёма

12 14 16 18 20 22

5 15 50 16 10 4

Составим расчётную таблицу

12	5	-2	-10	20	5
14	15	-1	-15	15	0
16	50	0	0	0	50
18	16	1	16	16	64
20	10	2	20	40	90
22	4	3	12	36	64

Для контроля вычислений пользуются тождеством =+2+.

К о н т р о л ь :

+2+=127+223+100=273

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

.

Найдём шаг: . В нашем случае ложный нуль.

Вычислим выборочные среднюю и дисперсию: