Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признакомизвлечена повторная выборка объёма:

…

…

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещённой оценкой , другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

.

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь, после чего получим исправленную дисперсию, которую обозначают через:

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещённой оценкой генеральной дисперсии, а именно:

.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию

Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами - концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра и будем считать. Очевидно,тем точнее определяет, чем меньше абсолютная величина разности. Другими словами, еслии, то чем меньше, тем точнее оценка. Таким образом, положительное числохарактеризуетточность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству. Можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки поназывается вероятность, с которой осуществляется неравенство, т.е..

Обычно надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве берут число, близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,999.

Пусть . Откуда. Это соотношение означает, что вероятность того, что интервалзаключает в себе неизвестный параметр, равна .

Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Основной задачей применения выборочного метода является определение по данным выборочного обследования признаков, характеризующих генеральную совокупность. В частности, выборочное наблюдение проводится для определения границ, в которых должна находиться генеральная средняя, а также для определения по данным о выборочной доле границ, в которых должна находиться генеральная доля. Такая постановка вопросов требует применения теоремы Лапласа в виде

(|-|<δ),

где - генеральная средняя,- выборочная средняя,- средняя квадратическая ошибка выборки.

При решении всех таких вопросов требуется применение величины , выражающей среднюю ошибку репрезентативности. Значения этой ошибки определяется по четырём формулам:

- для случайной повторной выборки при определении средней признака

,

где обозначает дисперсию средней () в выборке, причём генеральная дисперсиязаменяетсядисперсией случайной величины в выборке (поскольку генеральная дисперсия неизвестна);

- для случайной повторной выборки при определении доли признака

,

где обозначает доли данного и противоположного признака в выборке;

- для случайной бесповторной выборки при определении средней

,

где обозначает необследованную часть генеральной совокупности;

- для случайной бесповторной выборки при определении доли

.

Пример 2. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии, отличается от их доли в выборке (не более чем на 0,015 , если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Р е ш е н и е . а) повторная выборка

, ;

б) бесповторная выборка

,