1.3. Частные случаи движения точки

1. Прямолинейное неравномерное движение.

Если траекторией точки является прямая, то и.

Следовательно, .

2. Равномерное криволинейное движение.

Если , , то.

Т.к. ,, то,,

–уравнение равномерного криволинейного движения.

3. Равномерное прямолинейное движение.

, , поэтому.

4. Равнопеременное криволинейное движение.

Если , то. Проинтегрируем дважды данное равенство в известных пределах:, получим

, .

Т.к. , то

, .

Окончательно, – уравнение равнопеременного криволинейного движения.

В частном случае, при уравнение примет вид:

.

Определение кинематических характеристик движущейся точки при различных способах задания ее движения представлены в табл. 1.

Таблица 1

Определение кинематических характеристик точки при различных способах задания ее движения

Способ задания движения точки	Что задается	Определение скорости ()	Определение ускорения ()
Векторный
Координатный		, , ;	, , , ,
Естественный	, траектория, начало и направление отсчета		, , , .

1.4. Пример выполнения расчетно-графической работы по теме «Кинематика точки»

Условие: Точка М движется в плоскости Oxy. По заданным уравнениям движения х = х(t), у = у(t) точки М (где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах) найти траекторию точки, а также для заданного момента времени t=t₁ найти положение точки на ее траектории, определить и построить векторы скорости, нормального, касательного и полного ускорений, вычислить радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Исходные данные:

Уравнения движения точки:

, ,

t₁ = 1 с – заданный момент времени,t₀ = 0 – начальный момент времени.

Решение.

1) Уравнения движения x(t),y(t)являются такжеуравнениями траектории в параметрическом виде. Чтобы получитьуравнение траектории в координатной форме, надо исключить из уравнений движения параметрt. Пользуясь основным тригонометрическим тождеством (), получим следующее уравнение:

.

Траектория движения точки – окружность радиусом 2 см с центром в точке с координатами (-1;0) (см. рис. 10).

В момент времени t₁= 1 (с) координаты точкиМ равны:х = -3 (см),

у = -3,464 (см).

2) Модуль скорости точки определим по формуле:

,

где v_x,v_y– проекции скорости на осихиу.

.

При t₁=1(c)v_x(t1)= 3,628 (см/с),v_у(t1)= -2,094 (см/с),v= 4,189 (см/с).

3) Модуль полного ускорения точки вычислим по формуле:

,

где а_x,а_y– проекции ускорения на осихиу.

.

При t₁=1(c)а_х(t1)= 2,193 (см/с²),а_у(t1)= 3,799 (см/с²),а= 4,386 (см/с²).

Рис. 10. Построение скоростей и ускорений точки

4) Определение касательного ускорения точки

(см/с²).

5) Определение нормального ускорения точки

; (см/с²).

6) Определение радиуса кривизны траектории

; (см).

Ответ:v_x(t1)= 3,628 см/с,v_у(t1)= -2,094 см/с,v= 4,189 см/с;

а_х(t1)= 2,193 см/с²,а_у(t1)= 3,799 см/с²,а= 4,386 см/с²;

а_= 0 см/с²,а_n= 4,386 см/с²;= 4 см.

1.5. Задания для выполнения расчетно-графической работы по теме «Кинематика точки»

Условие: Точка B движется в плоскости Оxy (рис. 11). Закон движения точки задан уравнениями х = x(t), у = y(t), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах. Зависимости х = x(t) и у = y(t) даны в табл. 2.

Рис. 11. Схема к заданию

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t = t1 определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Примечание: по данной и другим темам варианты заданий определяет преподаватель.

Таблица 2